intégration (L3)

[L-etudiant]

Salut,

j'ai quelques questions sur mon DM que j'arrive a faire...

Exo 1.

On a mu, mesure de (R, B(R)) telle que mu(I) soit finie (I fermé, borné).

On note A l'ensemble des atomes de mu.
On montre que c'est au plus dénombrable.

Ensuite, on pose, pour B dans B(R) [boréliens de R], mu_a(B)=mu(A inter B).
On montre que c'est définie et que c'est une mesure sur B(R), puis que :



Et là, on me demande de montrer que :



où mu_d est n'a aucun atome (donc diffuse).

Déja, mu_d diffuse signifie que la mesure d'un singleton est nulle.

On a que mu_a est la somme des mesures des singletons, donc je dirais que mu_d mesure "tout le reste".

Je pense qu'il faut utiliser : mu(B\A) = mu(B) - mu(A), avec A, B correctement choisis... Je prendrai bien A = A (celui des atomes) mais apres j'arrive a revenir sur mu_a.

Je mettrai les autres questions au fur et à mesure (y'en a pas beaucoup vous inquietez pas).

Merci.
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[God's Breath]

En notant le complémentaire de : , donc , et les atomes de la mesure sont faciles à caractériser.

[L-etudiant]

Merci de ta rapidité !

Mais je vois pas comment caractériser les atomes... (ca doit etre evident pourtant)

[L-etudiant]

Ha si ca y est :

soit x dans B.

mu_d({x}) = mu_d(A' inter {x}) = mu_d(ens. vide) = 0.

Je cherchais trop compliqué...

[A voir en vidéo sur Futura]

[God's Breath]

Pourquoi aurait-on : ?

[L-etudiant]

Parce que A' c'est les x tels que mu({x}) = 0, non ?

Non, c'est bon j'ai vu ma connerie.

Ce que j'ai ecrit c'est vrai si x est dans A.

On reprend :

Soit x dans R, mu_d({x})=mu(A' inter {x})

Deux cas : si x est dans A, c'est nul ; si x est dans A' c'est nul aussi car sinon A' inter {x} = {x} et si mu({x}) =! 0 alors x est dans A.

C'est ca ?

[God's Breath]

Oui, c'est ça.

Par rapport à ton premier message, il vaut mieux éviter de raisonner par soustraction, on peut avoir des ennuis avec des ensembles de mesure infinie ; c'est pourquoi il vaut mieux trouver un calcul direct de la valeur de .

[L-etudiant]

Salut,

merci God's Breath, j'y penserai.

je reviens pour un autre exo sur l'ensemble triadique de Cantor (on le note K).

On montre que c'est un compact de R, de mesure de Lebesque nulle, d'interieur vide, sans points isolé.
Bien sur, il est borélien aussi.

Je bloque sur :

1. A_1 = R\K, A_2 = R\Q et A_3 = Q+K sont-ils boréliens ?

2. Calculer :



Pour i=1, 2, 3 et x positif.

Pour la 1, c'est des ouverts de R donc boréliens ?

Pour la 2, 1_A * 1_B = 1_ A inter B et et int(1_A)dL = L(A) (L pour lambda)

Pour A_1, on trouve L(R\K) = L(R)-L(K) (L(K) est finie puisque nulle) = L(R) = +oo
Et les autres je dirai +oo aussi mais ca m'etonnerait...

Merci de votre aide.

[L-etudiant]

Mince, personne pour m'aider ou j'ai vraiment dis que de la mer*e ?

[God's Breath]

1. A_1 = R\K, A_2 = R\Q et A_3 = Q+K sont-ils boréliens ?

Pour la 1, c'est des ouverts de R donc boréliens ?

Pour R\K, c'est un ouvert, mais les autres ne sont pas ouverts.
Q est-il borélien ?