Bonjour,
J'ais un petit soucis de compréhension concernant la résolution de
e^at dy/dt + ae^at*y = d/dt * (e^at*y)
j'ais compris que la dérivé de e^at et ae^at cela donne donc :
f(t) dy/dt + f(t)'* y = d/dt (f(t)*y)
est ce que je dois comprendre que si f(t) = u et dy/dt = v alors
f(t) dy/dt = u*v' et f(t)'*y = u'*v se qui donne (u*v')+(u'*v) = (u*v)' = d/dt (f(t)*y)
merci pour la réponse
PS: je suis autodidacte donc c'est pas si simpe que cela ......
Oui, c'est tout a fait ça !
La formule de dérivation d'un produit de deux fonctions est.
On peut aussi l'écrire
Attention a votre v, il correspond en fait à votre y dans les équations que vous avez écrites (car si vous écrivezsi f(t) = u et dy/dt = v alors f(t) dy/dt = u*v' et f(t)'*y = u'*v
merci pour la confirmation.
merci pour la remarque concernant v. j'aurais du écrire y = v et non pas dy/dt = v puisque dans mon example dy/dt = v'.
J'ais un autre petit probléme de conpréhension :
Si je dois intégré
d/dt(e^at*y) = (2e^at) + (t*e^at) = e^at(2 + t)
la solution est
e^at*y = (2/a*e^at) + (t/a*e^at) - (1/a²*e^at) + c
je ne comprends pas d'ou viens le "- (1/a²*e^at)" .j'ais bien remarqué que si je dérive "(t/a*e^at)dt" cela me donne
(1/a*e^at) est que si j'integre se résultat cela me donne bien "(1/a²*e^at)".
En fait j'aurais bien aimé comprendre comme se passe l'intégration sous la forme de U et de V comme dans mon premier post.
J'essaie de comprendre comment résoudre une équation diff du genre :
dy/dt + ay = 2 + t ou ecris differament dy/dt + ay = g(t)
mais je n'est pas compris le passage de l'intégration et sur mon bouquin il n'y a pas le détail du raisonement, juste le résultat, comme bien souvent. Parfois j'arrive a comprendre comme dans le cas du premier post, mais là je ne voi pas.
Je rappel qui je uis autodidacte et que cela n'est pas un devoir. J'ais donc surtout besoin de comprendre les mécanisme mis en oeuvre.
merci d'avance
L'intégrale de (t*e^at) doit se faire par partie.
Tu peux le faire en appliquant la transformée de Laplace.J'essaie de comprendre comment résoudre une équation diff du genre :
dy/dt + ay = 2 + t ou ecris differament dy/dt + ay = g(t)
Tu commence par appliquer la transformée du deux cotés, puis tu mets en évidence Y(z) d'un coté. Ensuite tu dois finir en faisant la transformée inverse de l'expression de Y(z). Tu peux utiliser des tables qui te donnent un certain nombre de transformées de Laplace pour des fonctions.
Cela peut devenir assez difficile suivant ton g(t).
Merci pour le lien mais je pense que la transformé de laplace se sera pour plus tard pour l'instant je vais m'en tenir a l'intégration par partie qui me cause quelleques souci.
Pour intégre par partie il faut que (2e^at) + (t*e^at) soit transformé en e^at(2 + t). Mais le probléme que j'ais rencontré est que si j'utilise e^at en tant que U' ca fonctionne. Par contre si j'utilise (2+t) cela ne fonctionne pas, tout du moins j'ais pas trouvé.
du coup j'ais essayé de comprendre et j'ais tenté d'utiliser {U'V = [UV] - {UV' dans d'autre sens c'est a dire
[UV] = {U'V + {UV' avec U=e^at et V=(2+t). il n'y a qu'une seul configuration qui fonctionne est c'est cela qui m'inquiéte parce que cela devrrait fonctionner dans tous les sens, en tout cas c'est se que je pense.
J'ais aussi un probleme de compréhension pour l'integration est la dérivation de te^at. est ce que t et e^at doivent être co,sidére comme de fonction ou simplement une seul. c'est a dire que si je dérive te^at soi j'obtient e^at soi ate^at et pour l'intégration soi t²/2*e^at/a ou (te^at)/a.
merci pour la réponse, j'espére juste avoir été capable d'expliquer clairement les problémes que j'ais rencontré.
Pour intégrer teat, il faut faire une séparation en deux fonction : f(t) * g(t) = teat.
Tu as alors :
f(t) = t
g(t) = eat
Tu intègres par partie en considérant g(t) comme la dérivée. Donc tu dois trouver la primitive G(t) de g(t). Tu évalues ensuite G(t)f(t) à tes bornes. Tu as la première partie du résultat.
Ensuite, tu soustrais l'intégrale de G(t)f '(t). Puisque f '(t) = 1, tu te retrouves à intégrer une exponentielle.
Comme tu l'as dit, tu dois trouver la bonne séparation de ta fonction. Si tu avais commencé par intégrer f(t), tu ne serais jamais sorti de ton intégration. Tu dois donc réussir à trouver quelle séparation il faut faire et dans quel "sens" tu dois intégrer tes fonctions séparées.
je pense avoir compris la démarche a suivre, cela n'as pas été évident, mais tout les autre solutions ne fonctionnant pas, il m'as bien fallu me rendre a l'évidence.
Donc si il est facile d'intédré une fonction dy/dt = -ay + b cela l'ait beaucoup moins lorsque b est composé peut être considére comme une fonction, du genre b = (1 + t) ou t est une variable.
Du coup poser dy/(y +- b/a) devient une vrai galére a résoudre, je n'ais pas trouver de formule générale, m'enfin je ne suis qu'un amateur éclairé.
Donc il faut se référer a se que l'on connait déja. Est ont sait que dérivé (U.V)' = U'.V + U.V' donc logiquement intégré (U.V)' devrait revenir a {(U.V)' = {U'.V + {U.v' d'ou [U.V] = {U'.V + {U.V' et {U'.V = [U.V] - {U.V' ou [U.V] = {(U.V)'.
Je voudrais savoir si mon raisonnement tient la route dans un premier temps, ensuite j'essaierais de continuer mon raisonnement pour résoudre les équations différentiels de type dy/dt = -+ay -+g(t) et dy/dt = +-p(t)y +- g(t).
C'est pas si facile que cela, il faut vraiment y passer du temps. Je veut dire fournir du travaille
Merci d'avance pour votre aide
J'ais toujours une petit soucis pour comprendre l'intégration par partie :
J'ais admettont un fonction d(e^at*y)/dt = e^at(1+t) = u'v + uv' = (uv)' que je veux intégré.
Donc je dois utilisé {(uv)' = {e^at(1+t) = {u'v = uv - {uv'
Mais je n'ais pas compris pourquoi il faut impérativement considérer une des deux fonctions comment éttends une dérivé car; cela reviens a intégré u' une fois pour calculer uv puis a intégré u de nouveau dans {uv'. tandis que v=(1+t) n'est pas du tout intégré mais plutot dérivé dans {uv'. Cele reviens a faire F(u)*v - F(F(u))*v'.
Je n'arrive pas a comprendre la logique sous jacente a la déricvation par partie.
Si quelqu'un est en mesure de me l'expliquer; merci d'avance
