Matrices semblables

[inviteec33ac08]

Bonsoir,

Voila, on me demande si les matrices suivantes sont semblables ou pas:

1/ et
Après avoir effectuer les vérifications tel que tr(A)=tr(B), det(A)=det(B) et enfin rg(A)=rg(B) je pense pouvoir dire qu'il y a de fortes chances qu'elles le sont, donc j'ai considérer un endomorphisme u qui est représenter par la matrice A dans la base B=(e1,e2,e3) tel que u(e1)=u(e3)=0 et u(e2)=e1 u est aussi représenter par la matrice B dans la base B'=(e1',e2',e3') tel que u(e1')=u(e2')=0 et u(e3')=e2' Le problème c'est que je ne sais pas comment déterminer la "fameuse" matrice P inversible tel que A=(P^-1)*B*P

2/J'ai la même question sauf que c'est pour deux matrices A et B différentes tel que et

Voila est-ce qu'il y aurait une méthode générale pour déterminer cette matrice P inversible. Merci beaucoup
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[invited5b2473a]

Cela revient à chercher P inv tel que PA=BP.

[inviteec33ac08]

Merci de ta réponse mais notre prof "ne veut pas en entendre parler" il veut uniquement que l'on résonne comme j'ai commencé

[sylvainc2]

Si tu ne peux pas résoudre PA = BP alors tu peux faire comme ceci:

1/ Pour A, si on a
A e1 = 0 e1
A e2 = 0 e2 + e1, et
A e3 = 0 e3
où e1=(1,0,0), e2=(0,1,0) et e3=(0,0,1), alors il faut aussi la même chose pour B:
B e1' = 0 e1'
B e2' = 0 e2' + e1'
B e3' = 0 e3'
puisque que A et B sont des matrices du même endomorphisme u mais dans deux bases différentes, alors e1,e2,e3 et e1',e2',e3' sont les mêmes vecteurs mais dans ces deux bases aussi.

On voit que e1' et e3' sont des vecteurs propres de B, tu dois les calculer. Ensuite pour trouver e2' il suffit de résoudre (B-0I)e2' = e1'. Attention: tu dois choisir e1' de telle sorte qu'il soit dans Im(B-0I) pour qu'il y ait une solution.

Finalement tu mets e1',e2' et e3' dans les colonnes 1,2,3 de P.

2/
Tu fais la même chose:
A e1 = 0 e1
A e2 = 0 e2 + e1
A e3 = 0 e3 + e2

alors
B e1' = 0 e1'
B e2' = 0 e2' + e1'
B e3' = 0 e3' + e2'

Ici seulement e1' est vecteur propre de B. On peut le calculer, et ensuite il faut résoudre (B-0I)e2' = e1' puis (B-0I)e3' = e2'.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteec33ac08]

Merci de ta réponse,

cependant je ne comprend pas tout au lieu de A e1 c'est pas u(e1) ou A est la matrice dans la base B de l'endomorphisme u ?

ensuite je ne comprend pas les 0 e1 peut tu m'expliquer ?

Merci encore

[sylvainc2]

A e1 = 0 e1 ça veut juste dire:
à gauche du signe égal: c'est la matrice A multiplié par le vecteur colonne e1
à droite: c'est 0 multiplié par le vecteur colonne e1

J'ai utilisé cette notation pour bien illustrer que 0 est une valeur propre de A et e1 un vecteur propre associé. C'est effectivement la même chose que u(e1)=0e1

[invited5b2473a]

Merci de ta réponse mais notre prof "ne veut pas en entendre parler" il veut uniquement que l'on résonne comme j'ai commencé

c'est bien dommage!