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Limitre d'une fonction avec exponentielle



  1. #1
    milsabor

    Limitre d'une fonction avec exponentielle


    ------

    Bonjour
    Je n'arrive pas à trouver

    A chaque fois, je tombe sur une forme indéterminée....
    Je ne devrai normalement pas avoir recours à ln
    Pouvez vous m'aider?
    a+

    -----
    "J'ai comme l'impression d'avoir moi même quelques problèmes avec ma propre existence"

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  3. #2
    akabus47

    Re : limitre d'une fonction avec exponentielle

    Bonjour
    Si tu a vu la crossance comparée , tu devrais savor que :
    X/exp(X) tend vers 0 lorsque X tend vers l'infini

    Ici , il faut mettre exp(2x) en facteur tu as :
    exp(2X) [ 1-2x/exp(2x)]
    =exp(2X) [ 1-2x/exp(x)²]
    =exp(2X) [ 1-(2x/exp(x))*(1/exp(x))]
    2x/exp(x) tend vers O
    1/exp(x) aussi

    Donc [ 1-(2x/exp(x))*(1/exp(x))] tend vers 1

    Donc exp(2X) [ 1-2x/exp(2x)] tend vers + l'infini
    Soit

    exp(2x) - 2x tend vers + l'infini


  4. #3
    milsabor

    Re : limitre d'une fonction avec exponentielle

    Non je n'ai pas encore vu les croissances comparées
    Merci pour l'aide! Quand on fait ce genre de choses, c'est a dire transformer une expression pour trouver autre chose qu'une forme indéterminée, il faut tâter par ci par la, ou bien il y a une réelle démarche à faire?
    a+
    "J'ai comme l'impression d'avoir moi même quelques problèmes avec ma propre existence"

  5. #4
    akabus47

    Re : limitre d'une fonction avec exponentielle

    Il n'y a pas de réelle demarche
    Le but etant de ne plus tomber sur des formes indeterminées , l faut savoir ( avec l'habitude) quel terme va dominer sur les autres et mettre en facteur celui dominant

    On les dominances:

    exp(x)/x tend vers l'infini en l'infini
    x.exp(x) tend vers 0 en - l'infini
    ln(x)/x tend vers 0 en l'infini
    exp(x)/(x^n) tend vers l'infini en l'infini
    ln(x)/(x^n) tend vers 0 en l'infini
    (x^n).exp(x) tend vers 0 en - l'infini
    (x^n).exp(-x) tend vers 0 en l'infini

  6. #5
    Boobooboo

    Re : limitre d'une fonction avec exponentielle

    Tu va avoir besoin de l'integration pour la démo, mais je pense que c'est bon non?

    On va calculer la lim de e^x/x

    e^x/x = e^x/e^(ln(x)) = e^(x-ln(x) = e^(x.(1-ln(x)/x))

    Alors c'est quoi la limite de ln(x)/x? bin c'est zéro et pour sa, il faut repasser par une autre limite! (c'est le lemme (et pas LEM))

    NB: sqrt = racine carré (pour Square Root je crois)

    t>sqrt(t)

    1/t < 1/sqrt(t)

    donc intégre (rien que sa!) entre 1 et x

    ln(x) - ln(0)< 2.sqrt(x) - 2

    ln(x) < 2.sqrt(x) - 2

    ln(x)/x < (2.sqrt(x) - 2)/x

    pour x>1

    0< ln(x)/x < (2.sqrt(x) - 2)/x

    Or lim (2.sqrt(x) - 2)/x = 0 (je te laisse le faire!)

    D'après le THM des gendarmes:

    ln(x)/x = 0

    Retour a notre fonction de départ: e^(x.(1-ln(x)/x))

    en +OO, sa va tendre (en étape ici, mais sa se fait en une fois normalement!) vers e^x(1-0) (car ln(x)/x tend vers 0) donc en +OO

    Finalement ta fonction était e^2x - 2x

    On va prendre une fonction composée:

    x => 2x=y => e^y - y

    e^y - y = y.(e^y/y - 1)

    x tend vers +OO, donc y aussi (car lim 2x = +OO)
    y tend vers +OO et e^y/y aussi! tout le monde est contant!!

    Enjoy!
    Dernière modification par Boobooboo ; 13/11/2005 à 19h07.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    JackCD34

    Re : limitre d'une fonction avec exponentielle

    Salutations, j'ai des problèmes moi aussi avec les limites, j'ai vu que vous parlez de la limite de X/exp(X qui est 0, comment pourrais-je le démontrer sans la croissance comparée svp
    A ma mort des fleurs grandiront de mon corps, je serais en elle c'est ça l'immortalité

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  10. #7
    sebsheep

    Re : limitre d'une fonction avec exponentielle

    Juste pour revenir sur ces formules, un moyen simple "avec les mains" de s'en souvenir :
    exp est le plus fort,
    ln est un looser (dixit un de mes profs, j'ai adoré)

    C'est à dire que si on a un exp multiplié à une puissance de x (positive,négative, entiere,réelle) , c'est l'exp qui va déterminer le comportement de la limite

    A l'inverse, si on a ln multiplié à une puissance de x, c'est la puissance de x qui va jouer

    Evidemment, cela ne constitue qu'un aide mémoire, absolument pas une preuve

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