Cantor Bernstein

[Snowey]

Bonjour à tous,
quelqu'un pourrait-il m'expliquer comment démontrer le théorème de Cantor Bernstein (dont un ennoncé pet être: "Deux ensembles sont equipotants si et seulement s'il existe une injection de l'un dans l'autre et une surjection de "l'autre dans l'un" ^^) à l'aide d'un lemme: "Toute application croissante d'un ensemble de parties dans lui même admet un point fixe" ?
Je sais qu'un article de wikipédia le traite, mais je n'ai pas tout saisi, aussi je vous demande
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[Médiat]

Bonjour,

(dont un ennoncé pet être: "Deux ensembles sont equipotants si et seulement s'il existe une injection de l'un dans l'autre et une surjection de "l'autre dans l'un" ^^)

Faute d'attention sans doute :
dont un enoncé peut être: "Deux ensembles sont equipotents si et seulement s'il existe une injection de l'un dans l'autre et une injection de "l'autre dans l'un" )

[Médiat]

Je viens de lire la démonstration dans Wikipedia, et je ne vois pas où vous pouvez bloquer ; pouvez-vous préciser ce que vous ne comprenez pas ?

[Snowey]

Je crois que je viens de comprendre !
Vraiment désolé de vous avoir dérangé (je ne saisissait pas pourquoi h était bijective ....)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Snowey]

Ce théorème est très connu: à t'il des applications "classiques" ou traduit il seulement une bonne intuition ?

[taladris]

Etre équipotent est une relation d'équivalence sur la classe des ensemble et la collection des cardinaux est justement la collection des classes d'équivalence pour cette relation. On peut comparer les ensembles en fonction de leur "taille", i.e. en fonction de leur cardinal. Mais a priori, on a accès seulement à la dichotomie "même cardinal/cardinal différent". On peut faire mieux en définissant une relation d'ordre en cardinaux: un cardinal A est plus petit qu'un cardinal B s'il existe une injection de a dans b, où a est un représentant de A et b un représentant de B (l'existence d'une injection ne dépend pas des représentants choisis). Le théorème de Cantor-Bernstein implique que cette relation est bien antisymétrique (la réflexivité et la transitivité sont triviales).