Montrer qu'une fonction C1 (à partir de la définition)

[invite8e3bb111]

Bonjour,
J'ai besoin de votre aide pour montrer qu'une fonction est C1 sur Mn(R).
Soit E=Mn(R) l'espace des matrices carrées réelles d'ordre n

je dois prouver que la fonction F: E->E définie par F(X)=X^2 +X-I (où I est la matrice identité d'ordre n) est de classe C1 sur E.
J'ai trouvé que la différentielle de F est DF(x;h)=F'(X)(H)=XH+HX+H qui est linéaire et continue puisque dim(E)<+inf
Mais je n'arrive pas à montrer que DF est Continue sur E à valeur dans Lc(E,E) c'est à dire que F est C1 sur E.

SVP j'ai un examen demain.

Merci d'avance
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[Seirios]

Bonsoir,

Une possibilité est de dire que les fonctions coordonnées de F sont polynomiales en les coefficients de la matrice X, donc F est même .

[invite8e3bb111]

C'est exact mais je voudrais montrer en utilisant la définition d'une fonction C1, que Df appartient à C°(E,Lc(E,E).

[invite57a1e779]

je dois prouver que la fonction F: E->E définie par F(X)=X^2 +X-I (où I est la matrice identité d'ordre n) est de classe C1 sur E.
J'ai trouvé que la différentielle de F est DF(x;h)=F'(X)(H)=XH+HX+H qui est linéaire et continue puisque dim(E)<+inf

La norme sur est la norme subordonnée à la norme sur et je suppose que l'on a pris soin de choisir sur une norme d'algèbre ; alors, pour tout triplet d'éléments de :



on en déduit :

Ainsi est 2-lipchitzienne de dans , donc continue.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8e3bb111]

Merci beaucoup. Ta réponse est pertinente. C'est ce que j'attendais