Géométrie algébrique, changement de base, produit tensoriel.

[invite76543456789]

Bonjour,
J'ai quelques questions sur la notion de changement de base en géométrie.
J'ai bien compris l'idée qui était de de généraliser a la fois l'extension des scalaires en algèbre, mais aussi la restriction a un sous espace pour un espace au dessus d'une base en topologie.
J'ai regardé la construction locale d'un tel changement de base, qui se fait tout simplement au moyen d'un produit tensoriel "tout bête", pour changer de base de S a S', pour un espace X, localement c'est juste le dual du produit tensoriel et on recolle cette construction locale.

Bon par contre je ne comprends pas comment faire le lien entre l'intuition topologique, et la construction algébrique explicite. Ou autrement dit, pourquoi prend on le produit tensoriel pour construire ce changement de base. Je vois pas du quoi, pourquoi c'est cet anneau la qui est le bon. J'admet que je n'ai pas de candidat naturel en tête, mais j'arrive pas a me forger une intuition la dessus (alors que pourtant topologiquement je vois bien ce qu'il se passe, et algébriquement je vois bien que dans le cas d'un extension des scalaires, alors on fait bien un produit tensoriel).

Merci de vos réponses!
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[Weensie]

Salut,

Je ne sais pas si je vais répondre à la question (probablement pas), mais voici une idée, peut-être.

Un tenseur, comme tu l'as bien dit, généralise en quelque sorte les vecteurs. Ils peuvent donc créer des structures géométriquement beaucoup plus riches. Quand on cherche à construire une fibré vectoriel au dessus d'une base, les champs de tenseurs sont beaucoup plus utiles, d'une part par leur richesse potentielle, d'autre part parce qu'ils sont construits de telle sorte que le produit tensoriel soit indépendant du choix de la base.

[invite76543456789]

Salut,

Je ne sais pas si je vais répondre à la question (probablement pas), mais voici une idée, peut-être.

Un tenseur, comme tu l'as bien dit, généralise en quelque sorte les vecteurs. Ils peuvent donc créer des structures géométriquement beaucoup plus riches. Quand on cherche à construire une fibré vectoriel au dessus d'une base, les champs de tenseurs sont beaucoup plus utiles, d'une part par leur richesse potentielle, d'autre part parce qu'ils sont construits de telle sorte que le produit tensoriel soit indépendant du choix de la base.

Merci pour ta reponse,
Malheureusement (comme tu l'avais predit ) elle ne repond pas trop a ma question.
Il n'est pas tout a fait ici question de tenseurs (au sens ou on l'entend habituellement dans le sens tenseur sur un espace). C'est vraiment de produit tensoriel, pour faire un changement de base, ca n'a pas grand chose a voir avec les tenseurs habituels (enfin il est bien question de produit tensoriel mais vu dans un contexte completement different).

[invite76543456789]

En fait pour poursuivre le fil original, je viens de lire qqch qui va probablement me causer des maux de têtes terribles, c'est que le changement de base tel qu'il est construit en géométrie algébrique ne coïncide PAS avec le changement de base sur les espaces topologiques sous-jacents. Ce qui explique sans doute que je n'arrive pas du tout a faire le lien entre la construction algébrique et la construction topologique.
Mais alors pourquoi avoir choisi cette construction qui malgré tout ne m’apparaît pas comme naturelle, quel est l’intérêt de ce produit tensoriel (formellement je vois bien que ce dual donne bien la propriété qu'on veut mais je vois pas comment on peut travailler avec ce truc).

J'essaie de faire le rapport sur des exemples simples, les sphères, les tores, je pige pas.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite52487760]

Bonsoir,
Moi aussi, je ne suis pas en mesure de répondre à tes questions avec beaucoup de pertinence, car, je n'ai que quelques connaissance dans le domaine ... Tout ce que j'ai pu remarquer durant mes études est que le produit tensoriel algébrique se définit souvent sur des modules qui sont une généralisation aux espaces vectoriels sur des anneaux ... Par contre, je n'ai jamais vu définir des produits tensoriels topologiques sur des modules mais sur des espaces vectoriels topologiques ... D'où à mon avis, le cadre propice de ton travail devrait être les espaces vectoriels topologiques ... C'est un domaine très riche de propriétés et je te conseille, pour plus de détails de jeter un oeil sur des ouvrages qui parlent des espaces nucléaires inventé par le fameux Alexandre Grothendieck ... Mais, sinon, tu peux toi même faire un effort d'élargir l'étude des produits tensoriels topologiques sur des modules et non sur des espaces vectoriels, si celà n'existe pas encore actuellement et concrètement comme étude.
Cordialement.

[invite76543456789]

Merci pour ta réponse, mais ca n'est pas exactement ca, ce qui m'interesse ici c'est la propriété de changement de base en geometrie algébrique.
C'est un cas particulier du produit fibré en fait (enfin disons que c'est une autre terminologie pour le produit fibré).
Je vois tres bien topologiquement comment construire cet objet, on fait le produit "fibre à fibre" et on met dessus la topologie produit.
En geometrie algébrique on ne le contruit pas du tout de la meme façon.
On le construit d'abord localement pour des ouverts affines (et c'est alors le spectre du produit tensoriel des anneaux de fonctions) et on recolle tout ca.
Je "comprends" la construction, enfin je la suit ligne a ligne. Mais je ne vois pas trop a quoi cela correspond geometriquement. Mais tout ceci est bien connu (enfin sauf par moi! )

[Weensie]

Peut-être la ressemblance entre un schéma avec une variété munie de cartes affines pourrait t'aider ?

[invite76543456789]

En fait ca s'est eclairé! J'ai compris pourquoi c'est cette construction qu'il faut et pas une autre!
Si vous voulez voici pourquoi.

Alors deja j'ai regardé le cas des espaces A^n sur le corps k (k^n quoi, l'espace vectoriel de dimension n sur k) alors son anneau de fonction est k[X_1,...,X_n] et A^n est son spectre. Et on veut bien sur que A^nxA^k=A^(n+k) autrement dit A^(n+k) c'est le spectre de une fois que j'ai realisé ça c'etait facile!

Si on se donne deux point de X et Y (de type fini) au dessus du meme s, alors on au au dessus une sous variété de A^m_{k(s)} du coté X et un sous variété de A^n_{k(s)} du coté y (les fibres au dessus de s) et donc leur produit correspond a ce que j'ai dit plus haut!

Du coup j'ai compris pourquoi ca donnait le bon objet, mais j'ai aussi compris pourquoi ca coincidait pas avec le produit fibré topologique. La topologie sur A² par exemple n'est pas du tout la topologie produit de A1xA1, et de meme il y a "plus" de point dans le produit "algébrique" A1xA1 que dans sa version topologique, par contre au niveau des points fermés ca coincide (ca c'est immediat.)!

Donc c'etait vraiment pile poil ce qu'il fallait! Waouh c'est puissant quand meme!