suite de fonctions

[ebolamath]

Bonjour,

j'ai un petit problem concernant cet exo:

soit fn(x)= 1 si x < -1/n
sin(n* Pi* x) si -1/n <ou= x <ou= 1/n
1 si x>1/n

1)montrer la CS vers une fonction f sur R

j'ai dit que pour X0 fixé , fn(x) CS vers f ou f = 0


ensuite, 2)

montrer que cette convergence n'est pas uniforme sur R

on considere sup|fn(xn)| avec xn= 1/2n
on a fn(xn) = sin(Pi/2)=1 different de zero d'ou fn ne converge pas uniformement vers f.

apres 3)

Montrer que cette convergence n’est pas uniforme non plus sur tout segment contenant 0.
là je vois pas trop, il n'y a pas de probelem en zero celon moi

et enfin 4)

montrer la CU sur [a;+inf[ avec a > 0

voila si quelqun pouvais maider svp
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[Tiky]

Bonjour,

Ta convergence simple est fausse. C'est pour ça que tu ne comprends pas la question 3).
Note que ton énoncé peut s'écrire plus simplement :
si et
si

[ebolamath]

oups petite erreur fn(x) = -1 si x < - 1/ n
fn(x) = sin(n* Pi* x) si |x| =< 1/n
fn(x) = 1 si x > 1/n

[ebolamath]

oups petite erreur fn(x) = -1 si x < - 1/ n
fn(x) = sin(n* Pi* x) si |x| =< 1/n
fn(x) = 1 si x > 1/n

je le refais ducoup :P

[A voir en vidéo sur Futura]

[ebolamath]

alors je trouve que fn CS vers f avec f
= 1 si x>0
= -1si x<0
= 0 si x=0

cest bon ?

[ebolamath]

ducoup pour la question 3 est ce que je peu dire que pour un Xn qui tend vers 0 par exemple Xn=1/n,
j'ai Xn>0 et
fn(xn)-f(xn) = sin(Pi *n *1/n) - 1 = -1 different de zero donc il ny a as convergence uniforme sur un segment contenant zero ?

[Tiky]

Il est bien curieux que l'enseignant se soit soucié de mettre un -1 au lieu d'un 1 pour x < -1/n. A moins que le véritable énoncé ne soit :
si

Au quel cas la suite de fonctions est en fait une suite de fonctions continues convergent simplement vers la fonction .
http://en.wikipedia.org/wiki/Sign_function
On en déduit immédiatement la question 2 et 3).

Je soupçonne donc une erreur d'énoncé. A savoir qu'on voulait te donner un exemple de suite de fonctions continues dont la limite simple ne l'est pas.

Maintenant l'exercice reste tout à fait correct. Ta méthode est correcte. Il faut juste ajouter l'argument important que comme l'intervalle considéré contient 0, tes éléments sont dans
l'intervalle à partir d'un certain rang.

[ebolamath]

ha oui ok super merci tiky

[Tiky]

Au passage, comme il précise que l'intervalle est un segment, il est fermé et pourrait être de la forme [a, 0] ou [0, a]. Aussi faut-il prendre Xn = -1/n dans le premier cas et Xn = 1/n dans le second. Si l'intervalle est {0}, la question n'a pas d'intérêt (on a bien convergence uniforme...)