problème de changement de base

[inviteb8697e7e]

bonjour tout le monde
j'ai un petit problème concernant le changement de base.
Soit f:E dans F E,F de dimension 3.
si on munit E d'une base (v1,v2,v3) et F d'une base (w1,w2,w3) alors on peut calculer la matrice associée à f , écrit relativement aux ses deux bases, en respectant l'ordre des coordonnées des f(vi) dans la base (w1,w2,w3)
le problème est si on change l'ordre des vi (cad on considère la base (v3,v1,v2) à la place de (v1,v2,v3) c'est la même base, mais lorsqu’on calcul la matrice de f relativement à cette base et la base (w1,w2,w3) en respectant l'ordre on trouve une autre matrice (les colonnes changent). est ce qu'il y a un problème là, puisque je voix que c'est la même base.
merci
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[invite57a1e779]

e problème est si on change l'ordre des vi (cad on considère la base (v3,v1,v2) à la place de (v1,v2,v3) c'est la même base

Non ! (v₃,v₁,v₂) et (v₁,v₂,v₃) sont deux bases différentes, bien que formées des mêmes vecteurs.

[invitec1242683]

Il ne faut pas confondre base et sous-espace vectoriel engendré par une base.

Oui, Vect(v1,v2,v3)=Vect(v3,v2,v1) mais c'est tout ce qu'on peut dire.

Pour une base quelconque (e1,e2,e3), la matrice d'une application linéaire f est représentée ainsi (f(e_1)|f(e_2)|f(e_3)). Une permutation sur les vecteurs de la base permutera par conséquent de la même manière les vecteurs colonnes de la matrice associée.

La matrice de f dans (e2,e3,e1) sera la suivante: (f(e_2)|f(e_3)|f(e_1)). Alors c'est vrai la matrice change pas beaucoup (son rang est le même, son déterminant égal à (-1)^la signature de la permutation, donc si c'est une permutation impaire ca change rien non plus, mais c'est tout de même une matrice différente)

[invitec1242683]

ce n'est pas exactement ca pour le déterminant; n'en teiens pas compte

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb8697e7e]

ah ok cela veux dire le l'ordre dont en pose les vecteurs dans une base est important.
merciii