Du PPCM au PGCD...

[invitec2b57d0c]

Bonsoir, je suis en licence de mathématiques, et je callais sur un de mes exos.
J'ai passé pas mal de temps à tester un certain nombre de choses en vain.
Donc je souhaitais un petit coup de pouce pour m'aider à résoudre mon problème.
Merci bien.

L'exercice nous demande simplement de démontrer l'égalité suivante :

a et b désignent des entiers.

(x + y) ^ (x v y) = x ^ y.

Pour info :

^ : PGCD
v : PPCM
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[Seirios]

Bonjour,

Comme , en divisant ton égalité par , on obtient avec et (en particulier, ). En fait, cela revient à se ramener à x et y premiers entre eux. Notons . Alors d divise XY. Par le lemme de Gauss, d divise X ou Y. Sans perte de généralité, on peut supposer qu'il divise X. Mais alors d divise également (X+Y)-XY=Y+X(1-Y), donc d divise Y. Finalement, d divise le pgcd de X et Y qui vaut 1.

[invitec2b57d0c]

Whaou. Tout d'abord merci de ta réponse, j'avais commencé à partir dans ce sens moi aussi, mais j'ai rapidement bloqué au niveau de "d divise..." et en voyant le résultat final, je pouvais encore chercher longtemps.
Bonne fin de semaine !