PGCD et PPCM

[invite489d2c5c]

Bonjour, besoin de votre aide .

Dans tout l exercice, x et y designent des entiers naturels non nuls verifiant x<y

S est l ensemble des couples (x,y) tq PGCD(x,y)=y-x
1.a. calculer PGCD(363,484)
b.Le couple (363,484) appartient il a S?
2.Soit n un entier naturel non nul; le couple (n,n+1) appartient il a S? justifier votre reponse (bien sur =P)
3.a.montrer que (x,y) appartient a S si et seulement si il existe un entier naturel k non nul tq x=k(y-x) et y=(k+&)(y-x)
b.en deduire que pour tout couple (x,y) de S on a:
PPCM (x,y)=k(k+1)(y-x)
4.a.determiner l ensemble des entiers naturels diviseurs de 228.
b. en deduire l ensemble des couples (x,y) de S tq ppcm(x,y)=228

Merci d'avance pour votre aide , je suis bloqué a la question 3b.
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[Zellus]

Bonsoir,

Tu as écrit :

y=(k+&)(y-x)

Mais ce n'est pas plutôt y=(k+1)(y-x) ?
Ton problème ne vient-il pas de là ? Ca doit être juste une erreur dans l'énoncé.

[invite489d2c5c]

Bonsoir, si c'est bien 1, j'ai juste fais une faute de frappe . Désolée

[Zellus]

Ok. Dans ce cas, il te suffit juste de partir de PGCD(x,y)=y-x (qui définit l'ensemble S), d'y faire apparaître PPCM(x,y) grâce à la relation PPCM(x,y) x PGCD(x,y) = xy (que tu as dû voir en cours je suppose), et de remplacer x et y grâce aux relations de la question 3.a qui font intervenir k.
Voilà, j'espère avoir été clair.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite489d2c5c]

Je n'y arrive pas :/

[Zellus]

En fait, tu peux partir de la relation PPCM(x,y) x PGCD(x,y) = xy.
Comme, dans l'ensemble S, PGCD(x,y)=y-x, tu obtiens PPCM(x,y) x (y-x) = xy et donc PPCM(x,y) = xy/(y-x).
Tu remplaces x et y par les k(y-x) et (k+1)(y-x) respectivement (obtenus à la question 3.a) et tu vas trouver la bonne solution en simplifiant le tout.
Bonne journée !

[invite489d2c5c]

J'ai réussi, pourriez vous m'aider pour la derniére question ?