intégrale à paramètre

[invite68e059f2]

Bonjour, je bloque sur l'un de mes exercices :

f(x,t)=exp(x*sin(t)) pour tout x et t dans R.
g(x)= int(0,Pi/2) (f(x,t)*dt) pour x réel.

Justifier que g est de classe C¹ sur R, préciser l'expression et le signe de g'(x) pour tout réel x.

=> J'utilise un théorème du cours qui permet de montrer qu'une intégrale à paramètre est C¹.

* Soit t dans R. f(x)-->exp(x*sin(t)) est C¹ sur R
* Soit x dans R. f(t)-->exp(x*sin(t)) est intégrable sur R
et d(f(x,t))/dx= sin(t)*exp(x*sin(t))
*C'est ici que je bloque, je veux majorer cette dérivée par une fonction intégrable ne dépendant que de t (hypothèse de domination), mais je n'y arrive pas.

J'attends vos conseils

Une fois cette hypothèse vérifiée, le thm nous dit que g'(x)=int(0,Pi/2) (d(f(x,t))/dx * dt) = exp(x)-1

D'où g'>0 pour x>0 et g'<0 pour x<0 !

Merci d'avance !
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[invite07dd2471]

Salut,

Faut faire une majoration sur tout compact K. Par exemple K=[a,b], alors

.

Donc tu peux appliquer ton théorème sur K => f de classe C1 sur K.

Comme K arbitraire, f est C1 sur R.

[invite68e059f2]

D'accord, je comprends merci beaucoup !

Du coup on peut aussi majorer sin(t) par 1 au lieu de t, et donc la dérivée partielle par exp(max(a,b)) (qui est intégrable en tant que constante) ?

[invite07dd2471]

Oui on peut aussi. ca arrive souvent qu'on ne puisse pas dominer une fonction sur R. Dans ce cas, on se place toujours sur des compacts. Idem pour , on prendra des compacts

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite68e059f2]

Merci pour vos explications

Il y a une autre question où je bloque :

Grâce à l'encadrement t>sin(t)>2t/Pi, je dois déterminer un encadrement de int(a,0)(g(x)*dx), où a<0. g est-elle intégrable sur R_

=> J'ai l'encadrement int(0,Pi/2)(exp(x*t)dt)<g(x)<int(0,Pi/2)(exp(x2t/Pi)dt)
Il suffit alors que je rajoute int(a,0)*dx devant chacun de ces termes?

En fait je ne vois pas comment conclure sur l'intégrabilité de g, c'est pour cela que je me demande si mon encadrement est juste!

J'attends vos pistes

[inviteea028771]

Ton encadrement n'est pas dans le bon sens, mais sinon, oui c'est ça.

Et intégrer une exponentielle ça on sait faire, ce qui te donne un encadrement de g(x) par deux fonctions, qui sont elles mêmes intégrables sur R-

on trouve :

On résout le problème d'intégrabilité en 0 par un petit développement limité à l'ordre 1 (la fonction est en fait prolongeable par continuité en 0), et en -oo c'est aussi intégrable (c'est plus petit qu'une exponentielle décroissante qui est intégrable). A noter que tout est positif ^^