Bonjour,
J'ai un problème très intéressant que j'aime résoudre, mais je n'y arrive pas.
Soit C le cercle unité. P un polygone de n sommets à l'intérieur du cercle.
On relit l'un des sommets avec les n-1 autres par des diagonales.
Montre que la somme des longueurs des diagonales est égale à n.
Merci
Bonjour,
pour trouver la réponse, il est possible de construire la suite des longueurs, facile à écrire 2 sin(k.pi/n) pour k allant de 2 à n-2
Les valeurs k = 1 et n-1 correspondent à des cotés.
En multipliant cette somme par sin (pi/2n) il est possible de la réduire facilement, mais le résultat n'est pas n
J'ai eu la curiosité d'aller jusqu'au bout et de vérifier le résultat pour n=3 et n=4, la formule me donne les bonnes valeurs 0 et 2.
Je vous donne la limite pour n infini : 4n/pi et vous laisse trouver la formule.
Comprendre c'est être capable de faire.
Bonsoir,
Je suppose que le polygone doit être régulier ? (sinon je ne vois pas comment le résultat pourrait être vrai)
If your method does not solve the problem, change the problem.
Oui, j'ai supposé également que le polygone était régulier pour que le problème soit défini.Envoyé par Seirios
Le dessin qui a été validé montre qu'il faut prendre les deux cotés adjacents en plus des diagonales, cela change un peu le résultat, la limite reste identique : normal, les deux cotés ajoutés tendent vers zéro tend n tend vers l'infini.
Comprendre c'est être capable de faire.
On peut aussi passer par les complexes :
Quitte à faire une rotation (ie quitte à multilplier par un), on peut supposer que le point que l'on choisit est 1. Dans ce cas, la somme des distances correspond simplement à
On obtient pas une valeur aussi simple que n, mais asymptotiquement on trouve un comportement en
If your method does not solve the problem, change the problem.
Nous n'allons pas tourner en rond, je donne la réponse complète :
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Comprendre c'est être capable de faire.
Merci pour vos aides,
La première chose c'est que le polygone est régulier.
L'exercice est pris d'une série d'exercices de l'analyse complexe dont je dispose pas de solution.
phys4
Franchement, je n'a rien compris pourquoi choisir une telle suite, et pourquoi faire la limite quand n tend vers l'infini.
pouvez-vous bien détailler les choses s'il vous plaît?
Je pense qu'avec la récurrence on peut aboutir au résultat.
j'ai vérifier pour n=2,3. Mais comment exploiter l'hypothèse de récurrence, c'est ça que je n'arrive pas à le faire.
Re bonjour,
Puisqu'il s'agit d'analyse complexe, il faut résoudre par les complexes.
Chaque diagonale a une longueur
Cette quantité est la partie imaginaire de
La somme recherchée est donc la partie imaginaire de
Cette somme est une série géométrique qui s'exprime simplement par
En multipliant par la partie conjuguée du dénominateur
vous obtenez en exprimant les sommes et différences
Cette somme étant imaginaire, il suffit de retirer i pour avoir la somme des diagonales recherchée.
Une simplification est possible avec la tangente de l'angle moitié
ce qui nous donne :
L'énoncé indiquait une somme égale à n, c'était faux et j'ai recherché s'il y avait une limite qui aurait justifié ce résultat comme approximation. En fait, nous pouvons dire que la somme croit comme n à un facteur près.
Pour avoir une récurrence, il faudrait connaitre une relation simple entre deux sommes successives, le fait de vérifier la formule pour n= 2, 3 ou 4 ne suffit pas sans une relation qui impliquerait qu'elle soit vraie pour la valeur suivante.
Comprendre c'est être capable de faire.
Compris. Merci beaucoup.
