Bonjour,
j'ai un exo faire pour demain et j'ai un peu de mal, si vous pouviez m'aider ce serait cool.
On nous donne E un EV de dimension 3 et f un endomorphisme non nul de E tq f²=0
1) montrer imf ⊂ kerf et déduire le rang de f
Donc j'ai fais, soit y∈Imf, ∃x tq y=f(x) et donc par définition: f(y)=f(f(x))=f²(x)=0
Donc comme f(y) est nul, et que y appartient à l'image de f, celle ci est inclus dans kerf
Pour le rang, comme Im(f) est inclus dans kerf et que la dimension de E est impair, le rang de f est forcément inférieur (et non nul, car f est non nul) à la dimension de ker f, alors rang f=dimf=1.
2) on nous dit, et c'est là que je bloque, soit ε3 un vecteur de E tq f(ε3) différent de 0. Posons ε2=f(ε3). Montrer qu'il existe ε1 dans E tq (ε1,ε2) soit une base de kerf.
J'ai mis, que comme ε2=f(ε3), on a f(ε2)=f²(ε3)=0
Je n'arrive pas à déterminer ε1 et ε2, je sais qu'il faudra prouver que ε1 et ε2 soient générateur et libre mais bon, sa bloque.
3) Montrer que B=(ε1,ε2,ε3) est une base de E.
Trou noir
En fait quand on ne nous donne pas de vecteurs, autant pour moi que le reste de notre groupe de td, c'est la galère totale.
Merci de l'aide
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