Prolongement continu

[Anthony39]

Bonjour,

J'aurais besoin de votre aide pour l'exercice suivant. Je suis faible en mathématiques et bien que je pense comprendre ce qu'on me demande, je ne sais pas comment mettre en oeuvre la réponse.

Soient E et F 2 evn de dimension finie.
Soit B=B(a,R) une boule ouverte de E et une fonction f de E dans F, définie sur B\{a}. Le but de l'exercice est de définir des conditions suffisantes pour pouvoir prolonger f en une fonction continue en a.

critère de Cauchy pour une limite de fonction

On suppose qu'on a:

pour tout e>0, il existe n>0, tel que pour tous x,y appartenant à la boule ouverte B(a,n), ||f(x)-f(y)||<eJe dois montrer que f peut être prolongée par continnuité en a.

Effectivement le critère de Cauchy pour une limite de fonction amène bien à l'idée que tous les points proches de a ont à peu près la même valeur. On peut donc penser qu'il existe une limite l quand x tend vers a.

Je ne sais pas comment formaliser cette intuition.

Merci d'avance
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[God's Breath]

critère de Cauchy pour une limite de fonction

Quel est ce critère ?

[Anthony39]

Bonjour,

Le critère sur la fonction (critère de Cauchy) c'est:

pour tout e>0, il existe n>0, tel que pour tous x,y appartenant à la boule ouverte B(a,n), ||f(x)-f(y)||<e

Merci

[God's Breath]

Bonjour,

Je ne vois pas la différence entre ton énoncé, qui demande de prolonger en , en posant : , et ton critère de Cauchy qui assure que admet une limite en .

[A voir en vidéo sur Futura]

[Anthony39]

Bonjour,

Excuse moi Breath, je suis pas sur d'être clair dans ma présentation de la question. Si j'ai bien compris l'énoncé. Les conditions de départs sont:

Soient E et F 2 evn de dimension finie.
Soit B=B(a,R) une boule ouverte de E et une fonction f de E dans F, définie sur B\{a}. Le but de l'exercice est de définir des conditions suffisantes pour pouvoir prolonger f en une fonction continue en a.

et dans le cas où la fonction vérifie le critère de Cauchy:

pour tout e>0, il existe n>0, tel que pour tous x,y appartenant à la boule ouverte B(a,n), ||f(x)-f(y)||<e

Alors je dois montrer que f peut être prolongée par continnuité en a.

Je pense que la réponse est quasi évidente, mais je ne sais pas comment le formaliser en terme mathématiques propre. C'est-à-dire faire le lien entre le profile de mon espace de départ:

une fonction f de E dans F, définie sur B\{a}.

La propriété de la fonction:

pour tout e>0, il existe n>0, tel que pour tous x,y appartenant à la boule ouverte B(a,n), ||f(x)-f(y)||<e

et la conclusion :

f peut être prolongée par continuité en a.

Je pense que je dois montrer qu'il existe comme tu l'indiques un prolongement possible de f ( la fonction f1) tel que :
f1(x)=f(x) pour tout x appartenant à B\{a} et f1(a)=l et que cette fonction est continue.

Dans ma démo, j'arrive pas à utiliser l car je ne peux pas faire f(a) car a n'appartient à B\{a}. Je pense qu'il faut que j'utilise la limite, mais comme je suis dans un espace E de dimension finie. Je ne suis pas sur d epouvoir utiliser la limite. J'ai dans l'idée qu'il faut plutôt que j'utilise une norme pour montrer tout ceci.

Très probablement, c'est très simple à faire. Malheureusement, je n'ai pas le niveau pour utiliser la norme ou dieu seul sait quoi pour réaliser ce fameux lien.

J'espère que mon explication est plus claire que la précédente.

Merci pour l'intérêt que vous portez à ma question.

Anthony

[Seirios]

Bonjour,

Je pense que je dois montrer qu'il existe comme tu l'indiques un prolongement possible de f ( la fonction f1) tel que :
f1(x)=f(x) pour tout x appartenant à B\{a} et f1(a)=l et que cette fonction est continue.

C'est bien ça. Pour trouver cette limite, il te suffit de prendre une suite convergeant vers a, puis d'utiliser le critère de Cauchy pour montrer que de Cauchy. Comme un espace vectoriel normé de dimension finie est complet, tu peux en déduire que converge.

[Anthony39]

Bonjour,

Je pense que c'est ok effectivement.

Merci Seirios.