Polynômes

[hibatoullah]

Salut,
Pourriez vous m'aider SVP,
Soit f:K(X) à K(X)/
f(P(X))=P(X+1)-P(X)
1)Montrer que f est un endomorphisme.Dertminez son noyau.
2)Montrer que pour tout n,p appartenant à N on a:
f^n(X^p)=0 si p<n et f^n(X^p)=n! si p=n.
Pour la première question je l'ai faite lhamdolillah,mais pour la 2ème je suis vraiment bloquée.
Et merci d'avance.
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[God's Breath]

Bonjour,

Quel est le degré de f(P) en fonction du degré de P ?
Quel est le degré de f^n(P) en fonction du degré de P ?

[Snowey]

Oui, j'aurais aussi essayé de réfléchir de cette façon:
appliquer f à P revient à baisser le degré de P d'au moins 1. On généralise en écrivant .
On obtient donc assez directement la réponse à la première question: , non ?
Par contre, je ne sais pas comment montrer rapidement (je veux dire, identifier le coefficient, car le degré est connu et bien égal à 1).


J'ai aussi envie de soulever le parallèle avec les matrices.
Si on note l'endomorphisme (stable), ne pourrait on pas étudier sa matrice associée ?
On retrouve qu'elle est nilpotente d'indice n+1 (ce que l'on a implicitement décrit avec la propriété précédente), donc on sait que . de plus, A est triangulaire supérieure stricte: on peut montrer par récurrence (ce que l'on a montré, en un peu plus fort) qu'à chaque multaplication par elle même on ajoute une "diagonale" de 0. On sait alors que sa forme est . il "suffirait" donc d'exprimer ce coefficient, n'est ce pas ?

J'espère ne pas vous déranger,

Snowey

[thepasboss]

bonjour,

sinon on peut remarquer que



où q(x) est un polynôme de degré strictement plus petit que n. Ca invite à la récurrence non ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Snowey]

Oui, c'est vrai (on voit clairement les factorielles arriver)

Des idées pour la vision matricielle, ou est-elle à ce point inutile dans ce type d'étude ?

[thepasboss]

Hmmmm je ne sais pas trop.

Comme ça frontalement je pense que ça risque d'être dur. A la limite en essayant d'interpréter ce coef sous formes de chemins dans un graphe ? J'y réfléchirai un peu plus tard mais je pense que ça se fait. (Il est temps de manger ! )

[hibatoullah]

Merci tous pour vos réponses!J'ai plutôt utilisé la méthode de thepasboss,et merci pour votre temps et effort !!

[hibatoullah]

SVP toujours dans le même exercice on nous demande de considérer f=T-id,avec T(P)=P(X+1),montrer que:
sigma(k=0 à n)(-1)^k *(n C k )*(X-k)^p=0 si p<n
et sigma(k=0 à n)(-1)^k*(n C k )*(X-k)^p=n! si p=n
J'ai appliqué la formule de binôme de Newton a f^n(X^p) et je trouve:
f^n(X^p)=(-1)^n*( sigma(k=0 à n)(-1)^k *(n C k )*(X-k)^p)
donc la première égalité c'est bon!
Mais pour la 2ème je trouve comme résultat n!/(-1)^n et non pas n!.
Et merci d'avance!

[God's Breath]

sigma(k=0 à n)(-1)^k*(n C k )*(X-k)^p=n! si p=n

Pour , cette formule s'écrit :



c'est-à-dire :

.

ce qui est vrai : s'il te reste un facteur , c'est que tu as fait une erreur de calcul.

[hibatoullah]

mais ceci viens du fait que f^n(X^n)= sigma(k=0 à n)((-1)^(n-k) *(n C k )*(X-k)^n)

[God's Breath]

Non :

parce que : .

Tu ne t'es pas aperçu de ton erreur pour la première égalité, parce que trouver 0 ou (-1)ⁿ.0, c'est la même chose...

[hibatoullah]

oui au fait j'ai fait pas mal d'erreurs!Mais pour l'égalité il nous faut P(X-k) et non pas P(X+k)

[God's Breath]

Tu as calculé sous la forme :



mais il aurait été préférable de le calculer sous la forme :



d'où la formule :



qui ressemble davantage à ce qui t'est demandé.

[hibatoullah]

oui mais l' id c'est bien P(X) donc il ne faut pas l'omettre dans les calculs

[God's Breath]

Non, l'identité est une application de K[X] dans K[X], ce n'est pas le polynôme P.

[hibatoullah]

Et c'est quoi alors? X?

[hibatoullah]

Et c'est quoi alors?X?

[God's Breath]

L'identité, c'est l'application ; c'est l'élément unité de l'algèbre L(K[X]), et c'est pour cela qu'elle subsiste, dans les calculs faits dans L(K[X]), uniquement sous la forme .

[hibatoullah]

Donc on peut la remplacer par 1?

[God's Breath]

Non, sauf à comprendre que ce 1 est une application, mais n'est pas le nombre 1.

Je détaille de calcul :



et est une écriture pour :



donc : et :

[hibatoullah]

C'est bon lhamdolillah!!!Merci bcp!!!