Démonstration qu'une fonction est C0 puis C1

invitecbdf04ce · 19/04/2012, 15h44

Bonjour à tous,

Dans le cadre de mes études, je dois démontrer que la fonction f ci-jointe est tout d'abord C0 puis C1, et définir sous quelles conditions. Mais venant d'un cursus de génie civil, j'ai peur de manquer de rigueur mathématique au niveau des écritures ainsi que pour la démonstration...

Dans la pièce que j'ai jointe, j'ai tenté de démontrer le fait qu'elle soit C0 : est-ce que vous auriez procédé de la sorte, sinon comment? si oui, mon écriture est-elle mathématiquement rigoureuse?
Enfin, concernant la démonstration pour le fait qu'elle soit C1, auriez-vous une manière (toujours mathématiquement rigoureuse)de procéder? (existence des différentielles/dérivées partielles, continuité?...)

Merci d'avance pour vos réponses.

**Seirios** · 21/04/2012, 14h00

Bonjour,

Attention : l'argument donné permet de dire que si f est continue alors les fonctions alpha et bêta doivent être égales, mais il ne donne pas la réciproque.

invitecbdf04ce · 23/04/2012, 16h54

Bonjour Seirios,

Merci pour votre réponse.
J'ai tenté d'apporter une correction au premier point que vous avez soulevé à savoir la condition suffisante.
J'avais en effet démontré que les limites au point considéré sont égales sous la condition alpha=béta. J'ai ajouté la valeur de la limite de la fonction au point considéré : j'ai joint à nouveau le fichier avec cet ajout.

Pouvez-vous me dire si cette fois-ci la démonstration est complète?

Merci d'avance de votre aide.

**Seirios** · 27/04/2012, 10h57

La valeur de la limite que tu donnes pour montrer que f est continue demande plus de justification. Pour le montrer proprement, le plus simple me semble de revenir aux epsilons. L'expression $\text{[math]}$ peut être écrite sous deux formes. Il te faut alors montrer que pour A assez proche de A₀ et d assez proche de d₀, cette expression est inférieur à $\text{[math]}$ initialement fixé. Pour cela, il te suffit d'utiliser la continuité des fonctions qui composent la définition de f.

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invite57a1e779 · 27/04/2012, 11h19

Bonjour,

Tu pars de :

$\text{[math]}$

où $\text{[math]}$ .

Tu considères $\text{[math]}$ de trace nulle, donc : $\text{[math]}$

Par suite :

$\text{[math]}$

Si $\text{[math]}$ est continue, ces limites sont égales, mais, pour conclure à : $\text{[math]}$ , tu as besoin de la condition $\text{[math]}$ .

Il ne faut pas te placer en un point $\text{[math]}$ quelconque, mais fixer la valeur de $\text{[math]}$ de telle sorte que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ et raisonner alors pour tout $\text{[math]}$ .

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