Système autonome de taille 2

[inviteb250fe1a]

Bonjour à tous

je vous propose ici un problème posé lors de l'édition 2010 de La chasse au trésor mathématique, concours renouvelé chaque année par le CIJM. Concours que je recommande par ailleurs à tous étant donné le caractère vraiment profond et intéressant des sujets qui y sont proposées. J'ai résolu celui-là d'une manière qui ne me satisfait pas vraiment, à la bourrin. J'aurais aimé obtenir vos lumières pour avoir une méthode plus propre. Voici le problème en question directement copié-collé :

Un oisillon se trouve à 500 mètres de sa mère. Il vole à la vitesse de 3 mètres par seconde en étant toujours orienté vers sa mère. Mais venant tout juste d'apprendre à voler, sa direction se trouve en permanence faire un angle de 45° vers la gauche par rapport à la direction de son regard. Dans combien de temps aura-t-il rejoint sa mère ? (Vous donnerez votre réponse en millisecondes arrondie à l'unité la plus proche.)

Voici comment j'ai raisonné :
Je nomme les coordonnées de l'oisillon, je suppose qu'il part de l'origine d'un repère posé. Même chose avec la mère que je fixe à M(0;500). Alors . J'appelle le vecteur vitesse de l'oisillon, ses coordonnées sont obtenues en normalisant le vecteur , puis en le multipliant par 3 pour la vitesse et en lui faisant subir une rotation de 45 degrés. J'obtiens alors ce système :


Et là, c'est le drame. Aucune idée sur la manière de résoudre ce système. Je suis bêtement passé par une équation aux différences finies avec une condition d'arrêt pour estimer le temps requis. On trouve normalement une solution de 235704 (en respectant l'énoncé). Ce que je trouve curieux c'est que la distance parcourue est très proche de . Je me demandais si c'était un hasard ou bien s'il y avait une raison profonde à cela. Toute autre remarque ou technique de résolution est bien entendu la bienvenue.

Merci d'avance de vos réponses
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[NicoEnac]

Bonjour,

Sans vouloir vous vexer, je crois que vous vous êtes compliqué la vie.

L'oisillon vole avec un angle de 45° par rapport à la direction de son regard. Cela signifie qu'on peut décomposer son vecteur vitesse en 2 : la vitesse en direction de sa mère (3 x cos(45°) = 2.12 m/s) et la vitesse qui "le fait tourner autour de sa mère". Ainsi la distance entre lui et sa mère est de 500 mètres auxquels on déduit le chemin parcouru vers sa mère la vitesse sus-citée.
Donc
On en déduit le temps qu'il faut à l'oisillon :

[inviteb250fe1a]

Merci pour votre explication, il n'y a pas d'offense. Je crois comprendre votre argument, l'oisillon s'approche "réellement" de la mère avec une vitesse de de sa mère, tandis que la rotation autour de celle-ci ne l'en éloigne ou ne l'en rapproche pas. Cette idée me semble simple mais j'ai un peu de mal à l'accepter malgré tout. Y a-t-il un moyen plus technique de montrer que cette composante du vecteur vitesse n'intervient pas dans la distance Oisillon-Mère ?