Bonjour,
Une idée maintenant bien implantée en geométrie complexe (ou en geometrie algébrique) est qu'il vaut mieux avoir une géométrie relative qu'une géométrie absolue, en tout cas la première est plus souple d'utilisation.
L'idée est que plutot que de considerer comme objet fondamental les variétes (differentielles ici) l'objet a considerer c'est plutot les familles de variétés paramétrées par une variété (et une variété seule est une variété au dessus du point). On se fixe donc une base B, et une variété au dessus de B, est juste un morphisme de variétés X->B, et un morphisme entre deux variétés X et Y au dessus de B est juste une morphisme de X dans Y, qui preserve les fleches dans B.
Je ne suis pas, loin s'en faut, expert en geométrie differentielle, mais je n'ai encore jamais vu ce point de vu developpé en geometrie (et en topologie) differentielle proprement dite.
Est ce que ce point de vue a deja été considere?
En fait je me dit que les difficultés techniques doivent etre considerables si on impose rien sur le morphisme X->B, parce que alors de nombreuses singularités doivent apparaitre dans les fibres (mais generiquement tout est lisse par Sard), d'un autre coté si on est restrictifs sur X->B, par exemple en se limitant a l'analogue des morphisme lisses (ou plat) alors ce qu'on obtient ne doit pas etre trop loin d'une fibration (par exemple une submersion propre est une fibration), qui elles sont tres largement etudiées. Y a t il un intermediaire?
-----