racines polynômes

[invite7c90838a]

bonjour
je cherche à montrer que le polynôme: admet n racines distincts z1,z2,...,zn dans .

J'ai essayé de montrer par l'absurde, mais je ne vois pas.

de même avec la dérivée........
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[Médiat]

Bonjour,

Pour n = 0 et n = 1, c'est faux.

Pour le cas général, si un polynôme admet une racine multiple, cette racine est aussi racine du polynôme dérivé.

[invite7c90838a]

donc il suffit de raisonner par l'absurde:

Déjà tout plynôme de degré n admet exactement n racines dans C (n>0).

suposons par l'absurde que Pn(X) admet n racines qui ne sont pas distinct

donc il existe i dans [1,n] tel que zi soit au moins d'ordre 2. Donc zi annule Pn(x) et Pn'(X) :

Pn(x)=X^n-X+1 et Pn'(X)=nX^(n-1) -1 et....

[breukin]

C'est pourtant simple.
Si est une racine multiple, elle est racine du polynôme et de son dérivé.
Donc (pour sinon les calculs ci-dessous sont des cas spéciaux) :

et

et

Donc soit

En reportant :

soit ce qui est impossible.

Reste à voir pour et .
Pour , on a le polynome , donc il me semble vrai de dire que tous ses zéros sont distincts : il n'y en a qu'un : qui n'annule pas le polynôme dérivé.
Pour , on a le polynome constant , donc il me semble vrai de dire que tous ses zéros sont distincts : il n'y en a pas, donc on ne peut pas en trouver un qui annule le polynôme, même si le polynôme dérivé est toujours annulé.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Reste à voir pour et .
Pour , on a le polynome , donc il me semble vrai de dire que tous ses zéros sont distincts : il n'y en a qu'un : qui n'annule pas le polynôme dérivé.
Pour , on a le polynome constant , donc il me semble vrai de dire que tous ses zéros sont distincts : il n'y en a pas, donc on ne peut pas en trouver un qui annule le polynôme, même si le polynôme dérivé est toujours annulé.

Juste une remarque, la question est " admet n racines distinctes", ce qui n'est pas le cas pour n = 0 puisqu'il a 1 racine, ni pour n = 1 puisqu'il n'a aucune de racine.

[breukin]

Ce qui peut être l'indice que l'énoncé initial était que le polynôme avait tous ses zéros distincts, réinterprété en "possède n zéros distincts" en ne percutant pas que pour n=0 ou 1, n n'est pas le degré du polynôme.