Application du théorème de Banach-Steinhaus

[invite00c73359]

Bonjour,

J'ai trouvé un exercice et son corrigé à cette page : Enoncé et corrigé. Seulement il y a une petite partie que je ne comprends pas. On veut démontrer que la norme de est égale à . Je comprends la première inégalité étant donné la définition de la norme dans ensemble des applications linéaires continues. C'est lorsque il applique la fonction à la suite particulière pour avoir l'égalité, je ne vois pas comment après ça il peut conclure que la norme est bien égale à la quantité voulue. Pour moi ça ne prouve que l'inégalité qu'on a déjà obtenu. Vu l'égalité il n'y a pas de constante plus petite mais c'est valable que pour la suite et on ne sait rien sur les autres suites (à part l'inégalité).

Merci à tous !

Cordialement.
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[0577]

Bonjour,
soit f une forme lineaire sur un espace vectoriel norme E. Si pour tout x
dans E on a pour une constante C
alors on en deduit que f est continue et que
S'il existe un y dans E tel que alors on en
deduit que

Rappel :

[invite00c73359]

Merci de votre réponse. On est d'accord mais pouvez vous m'expliquer pourquoi si il existe un c dans E tel que alors .

Merci.

Cordialement.

[0577]

Bonjour,

on sait deja que .
Pour montrer l'egalite, il suffit de montrer que .
Mais .
Si on trouve un y tel que
alors (parce qu'il y a un sup dans la definition de ||f|| ...)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite00c73359]

Ok merci beaucoup ! J'avoue que je ne suis pas fan de l'analyse fonctionnelle (et de toutes les matières genres calcul intégral et la théorie de la mesure, calcul différentielle, topologie, etc...) c'est assez théorique... M'enfin il en faut bien. Sinon pendant que j'y suis j'ai fait un exercice :

On munit de sa norme habituelle : . Pour tout on pose . Montrer que l'on définit ainsi sur E une forme linéaire continue et calculer sa norme.

J'ai montrer que la forme était linéaire continue. Pour la continuité j'ai l'inégalité . Avec cette dernière on a que mais comment calculer la norme ? Il ne faut quand même pas chercher un tel que ? D'autant plus que je vais chercher longtemps puisque un de mes camarades de classe à trouver une autre inégalité et donc . Il faudrait au moins à priori avoir une idée de la valeur de la norme non ?

Merci encore pour tes réponses !

[0577]

Bonjour,

en effet, il faut d'abord deviner la norme et pour ca comprendre de ce qui se passe.
La norme d'une application lineaire continue est la borne superieure de la norme des valeurs
de cette application sur la sphere unite. Donc prends une fonction de norme 1 et essaye de voir
ce qu'il faut pour maximiser la valeur de la forme lineaire sur une telle fonction.

Pour demontrer que la norme a telle valeur, on procede comme dans l'exercice precedent :
on montre d'abord une majoration puis on essaye d'obtenir une minoration en montrant que
la borne superieure est atteinte en un point. Malheureusement, la borne superieure n'est parfois
jamais atteinte ... (elle l'est pour un evn de dimension finie mais pas en general).
La procedure standard est alors de trouver une suite d'elements de facon a approcher inferieurement
la borne superieure, c'est ce qu'il faut faire ici.

PS : indication supplementaire, ||f||=2 semble etre la bonne reponse ...

[invite00c73359]

Ca me paraît bien difficile tout ça d'autant que je ne l'ai jamais fait. Tant pis pour cette question je n'aurais pas le temps de toute façon vu le travail que ça a l'air de demander. En tout cas un grand merci pour tes réponses qui m'ont bien été utile !

[invite00c73359]

Bonjour,

Je n'ai pas dit mon dernier mot pour la norme de A

Donc petite rectification : il faudrait que je trouve une suite de E dont tous les éléments sont de normes 1 (à la limite on pourra les normaliser) et dont tous les éléments ont leur image par A minorée par une fonction qui tend vers 2 quand n tend vers l'infini. Je cherche une telle suite de fonctions au vu de la définition de A mais en vain pour l'instant. Une fois une suite de ce genre trouvée (faut qu'elle existe déjà) j'arrive à prouver que la norme de A est 2.

Merci.

[0577]

Bonjour,

c'est exactement ce qu'il faut faire.
Comment as-tu fait pour montrer que la norme de A est inferieure a 2 ?
Ca devrait donner une idee pour trouver des fonctions de norme 1 dont l'image par A est proche de 2.

[invite00c73359]

Pour l'inégalité (qui prouve la continuité du coup) :
car le fonction qui à x associe est paire. D'où car

Dis moi si il y a une erreur Mais du coup je vois pas comment ça peut aider à trouver la suite de fonctions...

Merci encore !

[0577]

Bonjour,

c'est correct. Si on avait une fonction telle que toutes les inegalites soit des egalites, alors on aurait gagne.
Il faut donc regarder les cas d'egalite des inegalites.
Par exemple, ta premiere inegalite est une egalite si f(t)sin(t) est toujours positive, ce qui est le cas si
f est negative pour t<0 et f positive pour t>0.
Ensuite, quand tu majores par la norme de f, tu utilises f(t)sint(t) inferieur a ||f|| sin(t) pout t>0. Pour avoir egalite, il suffirait d'avoir
f(t)=||f|| pour t>0.
Pour t<0, f(t)sin(t) inferieur a ||f||(-sin(t)). Pour avoir egalite, il suffirait d'avoir f(t)=-||f|| pour t>0.
Si on considere f qui vaut -1 pour t<0 et 1 pour t>0, on a une fonction majoree en valeur absolue par 1 telle que A(f)=2.
C'est logique de considerer cette fonction, pour que A(f) soit grand, il faut que f soit tres negative pour t<0 et tres
positive pour t>0. Si on prend f majoree en valeur absolue par 1, le plus negatif qu'on puisse prendre est -1
et le plus positif est 1.

Seul probleme : ce f n'est pas continue et donc pas dans E ! Ce n'est pas grave car on peut construire une suite de fonctions continues
de norme 1 convergeant vers f pour ||.||.

[invite00c73359]

Bonsoir,

J'ai une suite de fonctions qui m'est venue y'a 5 min juste avant de faire un gros dodo



On a bien que car est continue. Pour tout étant donné la définition de la norme infinie sur E. Du coup au vu de la définition de la norme dans on obtient que . En calculant je trouve que ce qui est parfait vu qu'en passant à la limite quand n tend vers sur l'inégalité j'obtient (la continuité de la fonction sinus).

Tout fonctionne bien apparemment mais j'ai fait les calculs qu'une fois et j'ai vraiment la flemme de les refaire ce soir. Je vérifierai ça demain encore une fois mais si tu peux de ton côté me dire ce qui ne va pas j'avoue que ça m'aiderait

Merci !!

[0577]

Bonjour,

cette suite de fonctions convient bien. En revanche, le calcul de
A(f_{n}) n'est pas correct. Ton expression tend vers 0 quand n tend vers l'infini !
On a ce qui suffit (si on veut, on peut calculer exactement |A(f_{n})|
mais ce n'est pas la peine).

[invite00c73359]

Oui je m'en suis rendu compte aujourd'hui On a refait les calculs et on trouve ce qui est déjà mieux puisque tend vers 1 lorsque n tend vers avec le DL de au voisinage de 0 (lorsque n tend vers donc).

Merci beaucoup pour ton aide !