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sous-espaces vectoriels



  1. #1
    magodeoz

    sous-espaces vectoriels


    ------

    Bonjour,
    J'ai quelques questions concernant cet exercice:
    On considère dans R³ les sous-espaces vectoriels:U={(x,y,z) Є R³ : x+2y+z=0 } et V={(x,y,z) Є R³ :y=z }.
    Donner une base de U et une base de V.Déterminez le sous-espace U+V,précisez si R³=U⊕V et sinon donner un supplémentaire de U.

    Donc j'ai fait z=-x-2y donc on a x(1,0,-1)+y(0,2,-2)=0
    Donc base de U: ((1,0,-1),(0,2,-2))
    Et base de V (0,1,1).
    Petite question pour la somme des sous-espaces vectoriels... ça fonctionne comme pour la somme avec des sous-espaces de même dimension ou pas...?
    Je sais que si j'ai par ex: la somme de (1,0,1) et (0,1,0) ça me donne (1,1,1) mais dans le cas présent, on somme comment?Pareil?

    Donc après j'ai dit: U de dim 2 et V de dim 1 donc somme engendre dim 3.
    J'ai résolu le système pour voir si l'intersection est nulle ou pas:
    {x+2y+z=0
    {y-z=0
    <=>
    x=-z et y=0

    intersection non nulle donc les sous-espaces ne sont pas en somme directe ...Comment procéder pour le supplémentaire..?

    Qu'en pensez-vous..?
    D'avance merci de votre aide,
    Cordialement,
    Mägodeoz

    -----

  2. #2
    magodeoz

    Re : sous-espaces vectoriels

    J'ai finalement trouvé des réponses à mes questions....
    base de U: ((1,0,-1),(0,1,-2))
    base de V: ((1,0,0),(0,1,1))

    intersection U et V résoudre le système
    {x+2y+z=0
    {y-z=0
    =>droite vectorielle de dim 1 donc U et V ne sont pas en somme directe.

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