Autour de la convergence des series de fonction

[invited7e4cd6b]

Bonsoir F.S.,

Je voudrais savoir si:

Étant donné un intervalle I quelconque, et une suite de fonction (f_n)_n de I dans un intervalle de IR.
a-t-on toujours si la somme infinie des intégrales sur I des f_n convergeait alors on a la série de fonction de terme général f_nconverge simplement.

J'ai essaye la contraposée et a utiliser la définition,mais en vain.

Merci d'avance,

A+.
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[inviteea028771]

Non

Exemple simple et

Et on a :
, donc la série des intégrales converge

par contre la série ne converge pas simplement


Et même si tu rajoutes une valeur absolue à l'intégrale :

et

Alors

Mais la série de fonction ne converge pas simplement (il y a un problème en 0)

[invite332de63a]

[Message supprimé par mes soins: Même réponse que Tryss mais 40 minutes après]

[invited7e4cd6b]

Bonsoir,

En effet je parlais d'une valeur absolue de fn.
Cependant, je ne comprend pas pas ta fonction.

Veut elle dire qu'elle prend x sur [0,1/2^n] et 0 sinon?

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteea028771]

Bonsoir,

En effet je parlais d'une valeur absolue de fn.
Cependant, je ne comprend pas pas ta fonction.

Veut elle dire qu'elle prend x sur [0,1/2^n] et 0 sinon?

Non, c'est une notation pour la fonction indicatrice de l'ensemble [0,1/2^n] :

Elle vaut 1 sur [0,1/2^n] et 0 ailleurs

[invited7e4cd6b]

C'est donc une fonction constante d'une part sur [0,1/2^n[ et d'autre part sur ]1/2^n,+l'inf.]

Je vois que le calcul de l’intégrale donne 2.
Mais je ne vois pas le problème qui subsiste en 0.
A part un problème de continuité biensur.

[inviteea028771]

Simple, on a que

[invited7e4cd6b]

Mais alors la série pourrait converger vers une fonction qui n'a pas de limite en 0. A ma connaissance, ce genre de problème n'est influent qu'en parlant de convergence uniforme.

[inviteea028771]

Mais alors la série pourrait converger vers une fonction qui n'a pas de limite en 0. A ma connaissance, ce genre de problème n'est influent qu'en parlant de convergence uniforme.

C'est là qu'il est fondamental de préciser de quels objets on parle.

Ici tout les sont des fonctions à valeurs dans R définies sur [0,1] (donc en 0), la limite de la série, si elle existe, n'a pas de valeur réelle en 0, donc la fonction limite n'est soit pas définie sur [0,1], soit n'est pas à valeurs dans R (c'est donc un autre type d'objet)

Est ce que ça pose un problème? Tout dépend dans quel espace tu travailles.

[invited7e4cd6b]

la fonction limite n'est soit pas définie sur [0,1], soit n'est pas à valeurs dans R (c'est donc un autre type d'objet)

Je ne comprend pas vraiment ce point. La fonction limite ne peut elle pas être définie que sur ]0,1] ?

[inviteea028771]

Je ne comprend pas vraiment ce point. La fonction limite ne peut elle pas être définie que sur ]0,1] ?

Non, la définition de la convergence simple nécessite d'avoir les mêmes ensemble de définition pour les et pour la limite de la série.

Donc avec mon exemple, si l'ensemble de définition de est ]0,1], sa série converge, mais si l'ensemble de définition est [0,1], sa série ne converge pas

[invited7e4cd6b]

Ah je vois.

Donc finalement elle converge sur]0,1] vers la restriction des fn a cette ensemble.

Merci beaucoup.