Excentricité d'une ellipse à partir de l'équation en coordonnées polaires

[invite24c0f9dd]

Bonjour à tous,

J'ai besoin de votre aide.
Comment fait-on pour déterminer l'excentricité d'une ellipse lorsque l'on a seulement son équation en coordonnées polaires?
Je multiplie les recherches (wikipedia, ect...) mais je n'ai pas réussi à trouver la méthode.

Voici l'équation de mon ellipse :

r = 1 / (2sin(s) + cos(s) + 3)

Je vous remercie d'avance
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[invite24c0f9dd]

Une info supplémentaire : un des foyers est à l'origine...

[inviteea028771]

L'équation polaire d'une ellipse qui a pour origine un des foyers (et ou theta=0 est dans la direction du grand axe) est

où e est l’excentricité


Il faut donc réécrire sous la forme


Ici en passant par les complexes :

Pour tout réel , on a :



Avec

On s'en fiche de alpha, par contre on a , mais aussi (un petit dessin peut aider)


D'où , et par suite,

[invite24c0f9dd]

Merci pour votre réponse aussi rapide!
Néanmoins je ne comprends pas le résultat final, d'où vient le 3 au dénominateur du résultat de e? J'imagine que c'est le même 3 que celui que l'on a dans l'équation de l'ellipse. Mais lorsque j'applique votre méthode sur une autre équation, je ne trouve pas le bon résultat. Et il m'est impossible d'avoir la correction en détails de mon énoncé car les exos qui me sont donnés à faire font partie d'un programme d'auto évaluation nommé "wims".

Peut être pourriez-vous m'expliquer avec plus de détails sur un autre énoncé sur lequel j'ai la correction?

Cet énoncé par exemple :

r = 1 / (sin(s) + 3cos(s) + 5)

Avec votre méthode, j'ai trouvé e = racine(10) /5 aproximativement égal à 0.6324 alors que la correction du programme me met : 0.56627199.

Je vous remercie vraiment pour votre aide! Heureusement qu'il existe des gens comme vous dans ce monde!

Merci!

[A voir en vidéo sur Futura]

[phys4]

Cet énoncé par exemple :

r = 1 / (sin(s) + 3cos(s) + 5)

Avec votre méthode, j'ai trouvé e = racine(10) /5 approximativement égal à 0.6324 alors que la correction du programme me met : 0.56627199.

Bonjour, votre résultat est parfaitement correct, je pense que l'erreur est dans la correction.
Avez vous une idée de la méthode utilisée ?

[phys4]

Si vous avez des difficultés avec l'explication, nous pouvons utiliser de la trigonométrie plus basique :
le problème est de mettre (sin(s) + 3cos(s) + 5) sous la forme (1 + e.cos( t))
nous allons mettre en facteur la quantité racine(1 + 3.3) afin que les coefficients de sin et cos soit les sin et cos d'un angle


Nous avons alors


Pour que le coefficient constant soit 1, il faut diviser par la constante dans la parenthèse :


Nous avons ainsi la forme standard de l'équation de l'ellipse.

[inviteaf1870ed]

Plus généralement il faut savoir qu'une expression de la forme Acost+Bsint peut s'écrire sous la forme Rcos(t+phi) c'est un vieux truc de physicien :

Acost+Bsint=rac(A²+B²)[A/rac(A²+B²) cost + B/rac(A²+B²) sint]

En posant R= rac(A²+B²) et phi l'angle dont le cosinus vaut A/rac(A²+B²) et le sinus -B/rac(A²+B²) on retrouve la formule ci dessus.

[invite24c0f9dd]

Merci à tous pour vos réponses. Je suis tout à fait d'accord avec ce que vous écrivez mais le programme me met "mauvaise réponse". Ça fait déjà une semaine que je suis sur cet exo et je crois que je vais arrêter là. J'ai même essayé de contacter le professeur responsable à l'Université mais pas de réponse... Tant pis

Merci à tous!!
A bientôt!