endomorphisme inversible

[invite5ffffaa4]

Bonjour,

Pourriez vous me donner des élements de réponse pour ce qui suit:

soit E un k-ev et f un endomorpisme de E de rang 1. On sait qu'il exite a appartenant à R tel que fof=af

j'aimerais montrer que f-Id est inversible ou id est l'application identité sur E

est ce que cela est possible de chercher l'inverse de f-id comme en résolvant une équation c'est a dire:
si on pose g l'inverse de f-id

on cherche g tel que (f-id)og=go(f-id)=id

si oui comment démarrer? sinon l'autre technique consiste a montrer que mon endormorhime est un isomorphisme
autrement dit montrer qu'elle est bijective ,, est ce correcte?

Merci d'avance.
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[Tiky]

Bonjour,

Malheureusement sans autre hypothèse votre énoncé est faux.
Supposons que E soit de dimension 2 et regardons la matrice suivante d'un endomorphisme f de E dans une certaine base :

Cette matrice est clairement de rang 1.

Or la matrice de f-Id dans la même base est simplement :

Donc f-id est de rang 1 et par conséquent n'est pas inversible.

[inviteaf1870ed]

Je pense que a est différent de 1...

[invite5ffffaa4]

exacte a est différent de 1,

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited7e4cd6b]

Salut,

Si a different de 1 alors:

Considérons F=Ker(f-id). S'il existe un x appartenant a F cela veut dire qu'il est dans Im(f) et de plus f(x)=x. d'ou 1 serait valeur propre de f,or a est l'unique valeur propre de f ABSURDE.

Cordialement,
M.

[inviteaf1870ed]

Je pense que 0 est aussi valeur propre de f...
D'autre part pourquoi dis tu que x appartenant à F appartient à Im(f) ?
Et tu n'utilises pas le fait que l'endomorphisme est de rang 1

[inviteaf1870ed]

si oui comment démarrer? sinon l'autre technique consiste a montrer que mon endormorhime est un isomorphisme
autrement dit montrer qu'elle est bijective ,, est ce correcte?

Merci d'avance.

Si tu montres la surjectivité, en exhibant un antécédent d'un élément y quelconque, tu auras fait un grand pas...et tu verras clairement pourquoi a ne peut être égal à 1

[invite76543456789]

Salut!
Ce que dit yootenhaiem est (presque) correct, les seuls valeurs propres de f ne peuvent etre que 0, et a, tu conclue comme il a indiqué.
Le fait que f soit de rang 1 n'intervient que pour prouver que f²=Tr(f)f.

[inviteaf1870ed]

Je préfère ce raisonnement...mais si on ne connaît pas encore les valeurs propres, on peut s'en sortir quand même :
-on montre que g=f-Id est injective : si g(x)=0, alors f(x)=x donc f°f(x)=af(x)=f(x) donc f(x)=0 et x=0
-on montre qu'elle est surjective : soit y un vecteur de E, on cherche x tel que g(x)=y. Donc f(x)-x=y et f°f(x)-f(x)=f(y)=(a-1)f(x). On en déduit la valeur de x [on voit en passant le pb avec la valeur a=1]
En dimension finie, l'injectivité suffit bien entendu.

[invited7e4cd6b]

Oui je m'excuse. 0 et 1 sont tout deux valeurs propres de f.
ericc a bien fait de remarquer le cas de dimension finie ou infinie, je l'avais négliger.

Bonne soirée.