Polynômes de Tcheybetchev et formes linéaires

[invitea4f9c643]

Bonjour ,

J'ai eu quelques idées pour démontrer ce résultats mais je n'y suis toujours pas arrivé.Merci de m'aider.


Montrer que :

Pour tout P de lR_2n-1[X] :

= .



J'ai pensé à faire un changement de variable , poser t = cos (x) et puis puisque les deux termes des deux cotés sont des formes linéaires sur
il suffit de montrer qu'ils coincident sur une base pour dire qu'ils sont égaux ,vu la présence du cosinus on peut penser à utiliser la famille des polynômes de tcheybetchev puisque c'est une base de.


Merci d'avance.
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[invitea4f9c643]

toujours livré à moi même :'(

[invitea4f9c643]

Up ?

[ericcc]

Cette formule me parait fausse, l'intégrale ne converge pas. Par exemple P(t)=x^3+1

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea4f9c643]

Je ne pense pas que c'est le cas.Comme le montre la nouvelle intégrale après avoir effectué un changement de variable : en posant t= cos x l'intégrale aura la forme de P(cos(x))dx qui n'as pas de problème de convergence.

[ericcc]

Intéressant : peux tu détailler les calculs de ton changement de variable ? Je ne vois pas comment le (1-t²) peut disparaitre...

[invitea4f9c643]

ah je suis vraiment désolé j'ai fait une faute de frappe.c'est la racine de ( 1- t²) et le pi c'est à l'intérieur du cosinus.Je ne vois pas comment je peux éditer le message

[ericcc]

C'est ce que je pensais. Si tu regardes le produit scalaire adapté aux polynômes de Tchebyshev, tu vois que ton intégrale correspond au produit {P;1}.Or 1 est le polynôme T0, et les polynômes de Tchebyshev sont orthogonaux pour ce produit scalaire.
Décomposant P sur la base des Tn(X), il reste un seul terme, qui est le coefficient de T0 dans la décomposition de P dans cette base.
Avec un peu de travail on arrive à ta formule.
Pour t'aider : http://gc.saliege.com/VracWeb/FFT/basostchebyhtm.htm.

[invitea4f9c643]

Merci pour votre réponse. Ca me semble assez logique mais n'ayant pas encore étudié les transformations de fourrier je ne vois pas comment décomposer P dans la base des polynômes de Tcheybetchev. Néanmoins je vais essayer de voir ca , le lien est vraiment intéressent.Merci encore.

[ericcc]

Tu n'as pas besoin de la TF, regarde bien le lien. Tu cherches simplement Y0
Sinon une autre méthode peut être de le démontrer pour les fonctions puissances (x^p) et d'utiliser la linéarité de l'intégrale pour passer aux polynômes. Tu arrives toujours à une intégrale de cos^p(x) après ton changement de variable. Je n'ai pas trop regardé, il faut surement passer par une récurrence pour démontrer ta formule