Topologie des rotations

[Snowey]

Bonjour à tous,
je m'interesse à la topologie du groupe des rotations de l'espace SO(3).
Par exemple, au fait que son groupe fondamental soit assez original: .
Connaissez vous des références (ou si vous pouvez/voulez/avez le temps de ...) qui expliquent clairement le fait que l'on peut associer topologiquement parlant la boule unité dont les points antipodaux sont confondus deux à deux et l'espace des rotations ?
merci d'avance !
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[invite76543456789]

Salut!
C'est assez simple, une rotation de R^3, a toujours un vecteur propre (son axe), et un angle qui est un element de S1. Tu peux diriger l'axe de la rotation par deux choix de vecteur sur S^2.
Si tu prend un vecteur de la boule B3, alors tu peux associer a ce vecteur sa norme et l'espace engendré par lui meme. Alors tu peux regarde la rotation d'axe l'espace engendré par ce vecteur et d'angle pi fois la norme de ton vecteur, avec la convention que la rotation associé à 0 est l'identité.
Ca te donne une application de dans SO(3), qui est bien définie.
Ca te donne une bijection de l'un sur l'autre, qui est continue pour la topologie quotient sur B^3/Z_2 car B^3->SO(3) l'est (pour le voir tu peux ecrire les matrices de tes rotations et voir que si l'axe de rotation de deux rotations sont proches et leurs angles proches, alors elles sont proches, c'est assez intuitif mais il faut l'ecrire), comme B^3/Z_2 est compact, on conclut aisément.

Il est ensuite facile de voir que Z/2->B^3->B^3/Z_2 est une fibration topologique, et par la suite exacte longue d'homotopie pour un telle fibration (ou tout simplement du fait que B^3 est un revetement de degré 2 de SO(3)), tu en déduis que le groupe fondamental de SO(3) est Z_2.

[azizovsky]

Salut , il y'a ceci http://www.mathoman.com/index.php/ta...e-rotation-so3 et ceci dedans http://www.mathoman.com/index.php/66...a-3-dimensions , il y'a aussi ce théoréme : le groupe SO(3) réalise une représentation de SU(2) : il existe un homorphisme
R : SU(2) ===> SO(3)
U------> R(U)
de plus , pour tous U de SU(2) , les matrices U et -U ont même image R(U)=R(-U).
pour trouver ce que tu veux , il faut chércher du coté de la géométrie algébrique .

[invite76543456789]

il y'a aussi ce théoréme : le groupe SO(3) réalise une représentation de SU(2) : il existe un homorphisme
R : SU(2) ===> SO(3)
U------> R(U)
de plus , pour tous U de SU(2) , les matrices U et -U ont même image R(U)=R(-U).
pour trouver ce que tu veux , il faut chércher du coté de la géométrie algébrique .

Non, SO(3) n'est pas une representation de SU(2), c'est le second qui est un revetement du premier. En fait c'est son revetement universel. Il est effectivement de degré 2.
La géométrie algébrique n'a rien a voir avec ça, la theorie des groupes de Lie classique, c'est de la géométrie differentielle, pas algébrique (meme si les groupes en jeu sont effectivement algébriques).

[A voir en vidéo sur Futura]

[azizovsky]

Salut , il y'a ceci http://www.mathoman.com/index.php/ta...e-rotation-so3 et ceci dedans http://www.mathoman.com/index.php/66...a-3-dimensions , il y'a aussi ce théoréme : le groupe SO(3) réalise une représentation de SU(2) : il existe un homorphisme
R : SU(2) ===> SO(3)
U------> R(U)
de plus , pour tous U de SU(2) , les matrices U et -U ont même image R(U)=R(-U).
pour trouver ce que tu veux , il faut chércher du coté de la géométrie algébrique .

je crois j'ai lu une démonstration de cela dans "Géométrie contemporaine" Doubrovine Novikov Fomenko "" ,mais j'ai une façon de voir ceci :
tu prend un ballon tu trace le grand cercle (ficelle) ,tu peux construire avec cette ficelle deux cercle orthogonaux sur le ballon ,si tu fait la projection de ses trois cercles sur un plan , tu vois qu'on peut écrire le gand cercle par R²=a²+b² avec (1) a=R.cos(n) et (2) b=Rsin(n) , avec a et b les rayons ...si tu multiplie par exp(m.i) et exp(l.i) tu trouve deux spineurs ,car la projection représente deux cercles non pas des segments seulement ...

[invite76543456789]

Ca n'est de toute façon pas ce dont il est question ici, il s'agit de montrer que RP^3 et SO(3) sont homéomorphes, ce qui donnt au passage tout de suite le fait que SU(2) soit le revetement universel de SO(3).

[azizovsky]

salut miss'.....' , je n'ai pas avec moi mes références (d'éditons mir moscou ) , je vais voir .....

[azizovsky]

je crois j'ai lu une démonstration de cela dans "Géométrie contemporaine" Doubrovine Novikov Fomenko "" ,mais j'ai une façon de voir ceci :
tu prend un ballon tu trace le grand cercle (ficelle) ,tu peux construire avec cette ficelle deux cercle orthogonaux sur le ballon ,si tu fait la projection de ses trois cercles sur un plan , tu vois qu'on peut écrire le gand cercle par R²=a²+b² avec (1) a=R.cos(n) et (2) b=Rsin(n) , avec a et b les rayons ...si tu multiplie par exp(m.i) et exp(l.i) tu trouve deux spineurs ,car la projection représente deux cercles non pas des segments seulement ...

tu trouve un seul spineur l'autre c'est l'opposé ..., soit les deux cerclrs d'en haut soit d'en bas .

[azizovsky]

tous ce que je me rappele que SO(3) est doublement conexe càd que tous chemin fermé composé deux fois de suite est homotope à un point .

[azizovsky]

tous ce que je me rappele que SO(3) est doublement conexe càd que tous chemin fermé composé deux fois de suite est homotope à un point .

c'est pourquoi je donné une vision PHYSIQUE de la ficelle (grand cercle)(rotation) ,on peut toujour construire deux cercles orthogonaux avec cette même ficelle , une représentation PHYSIQUE .

[azizovsky]

Salut , d'aprés wikipédia "...Le groupe de Lie des matrices de rotation n×n, SO(n), est une variété compacte et connexe par arcs. Mais il n'est pas simplement connexe, aussi la théorie de Lie nous dit que c'est l'« ombre » (l'image par une application continue) d'un groupe de revêtement universel. Le groupe de revêtement, qui dans ce cas est le groupe Spin (ou groupe de spins, ou groupe des spineurs), noté Spin(n), est en général plus simple et il est plus naturel de s'y placer.

Dans le cas des rotations planes, SO(2) est topologiquement un cercle, la sphère S1. Son groupe de revêtement universel, Spin(2), est isomorphe à la droite réelle, R, munie de l'addition. En d'autres termes, chaque fois que nous utilisons des angles de valeur arbitraire, ce que nous faisons souvent, nous profitons de la simplicité des nombres réels, dont les angles sont les « ombres ». Toute matrice de rotation 2×2 correspond à une infinité dénombrable d'angles, séparés par des multiples entiers de 2π ; cela correspond à ce que le groupe fondamental de SO(2) est isomorphe aux entiers relatifs, Z.

Dans le cas des rotations de l'espace, SO(3) est topologiquement équivalent à l'espace projectif réel de dimension 3, P3(R). Son revêtement universel, Spin(3), est isomorphe à la 3-sphère, S3 ; et chaque matrice de rotation 3×3 correspond à deux points opposés de la sphère. Par conséquent, le groupe fondamental de SO(3) est isomorphe au groupe à deux éléments, Z2. Nous pouvons aussi décrire Spin(3) comme isomorphe au groupe multiplicatif des quaternions de norme 1, ou à un certain ensemble de matrices réelles 4×4, ou de matrices complexes 2×2.""
at aussi : : les espaces projectifs Pn(R)(réels) pour n >/ 2 ont des groupes fondamentaux isomorphes à Z/2Z.

[Snowey]

Merci à tous, je vais lire attentivement vos réponses

Je vais très certainement vous paraître idiot, mais je ne sais pas ce que signifie

Z/2->B^3->B^3/Z_2 est une fibration topologique, et par la suite exacte longue d'homotopie pour un telle fibration (ou tout simplement du fait que B^3 est un revetement de degré 2 de SO(3)), tu en déduis que le groupe fondamental de SO(3) est Z_2.

.

Je continue de lire et poserai mes question au fur et à mesure.

[Snowey]

Et est ce que ?

Pourquoi seuls les points de la sphère sont concernés par le quotient ? (excusez mes questions maladroites et naïves !)

[invite76543456789]

Si tu as l'action d'un groupe discret sur un espace topologique localement compact, qui soit propre et libre, alors tu as un revetement 0->G->X->X/G->0, s'il est galoisien, alors G est le groupe d'automorphisme du revetement, qui est le groupe fondamental de X/G, si X est simplement connexe. Ce qui est le cas ici.

Seul les points de la sphere sont concernés par le quotient car on le défini comme cela, le quotient.

[invite76543456789]

Attention, j'ai ecris qqch d'incorrect dans mon dernier message, enfin non, c'est correct, mais ca ne te permet pas de conclure quant au groupe fondamentale de SO(3), j'ai écrit trop vite quand j'ai aprlé du quotient B^3/Z_2, on definit pas du tout comme ca le quotient . Tu as raison.
Ton espace c'est bien B^3/{(x,-x), x dans S^2}, et B^3 n'est pas un revetement de ce truc là. En revanche (et je pense que c'est ca que j'avais en tete, en fait, d'où ma confusion) le quotient B^3/{x,-x, x dans S^2}, c'est aussi le quotient de S^3 par l'application antipodale, et ca c'est bien S^3/Z_2 ou Z_2 agit via une action propre et libre, et donc S^3 est le revtement universel de SO(3) et son groupe d'automorphisme est Z_2 qui est donc le groupe fondamental de SO(3).
Bref j'espere ne pas t'avoir embrouillé et que c'est plus clair maintenant.

[Amanuensis]

Pourquoi seuls les points de la sphère sont concernés par le quotient ? (excusez mes questions maladroites et naïves !)

Plus facile à voir dans le cas de B(2) vers RP(2) : on prend le disque fermé et on assimile les points opposés de la frontière pour obtenir le plan projectif (construction dite du bonnet croisé).

[Snowey]

tu peux ecrire les matrices de tes rotations et voir que si l'axe de rotation de deux rotations sont proches et leurs angles proches, alors elles sont proches, c'est assez intuitif mais il faut l'ecrire

.
Pour ma bonne conscience, j'ai voulu le faire ...
Y a t'il sérieusement quelqu'un qui un jour a réellement vérifié ça ?
Il doit certainement y avoir des (méga) astuces et de calcul (majorations) et de raisonnement pour éviter ce dans quoi je me suis lancé parce que sinon ... !!!
Naïvement, j'ai calculé la matrice d'une rotation quelconque dans la base canonique en fonction de son angle et de son vecteur normalisé d'axe de rotation, et j'ai trouvé une matrice dont les coefficients sont assez abominables (on pouvait s'y attendre !), je ne donne que le premier pour qu'on comprenne bien la forme: ... vous devinez la suite !
Et alors quand il s'agit de considérer c'est le plus joyeux ... mélange

Ma première idée aurait été d'avoir un lemme selon lequel
si deux matrices sont proches (au sens de la norme infinie, i;e ) alors le produit de ces matrices au sens suivant est aussi proche: .
Pensez vous que celà soit raisonnable, voire faisable ? (personnellement j'aimerais y croire mais ... :/)

Parce qu'avec ça, tout est immensément plus simple, en choisissant bien sûr les matrices , et les matrices de passage d'une bonne base dans la base canonique (matrices orthogonales en plus): le résultat a juste besoin d'être vrai pour 3 matrices !

Qu'en pensez vous ?

Merci d'avance

PS: et merci des réponses aussi !!

[0577]

Bonjour,

le lemme revient essentiellement a la continuite du produit matriciel,
qui est claire puisque le produit matriciel est donne par des
expressions polynomiales en les coefficients.

[invite76543456789]

Salut!
Parce que tu n'as pas choisi la bonne norme!
Si tu prends la norme d'opérateur, ca devient beaucoup moins pénible. Tu ecris (v1,v2,v3) une base othonormée pour ta premier matrice de rotation, avec v1 l'axe de la rotation, et maintenant tu prend R une rotation d'angle proche de la première et d'axe v1+u avec u un vecteur de norme plus petite qu'epsilon.
Tu orthonormalise (v1+u, v2,v3) avec schmidt, et tu montres que v'2 et v'2 sont proches de v2 et v3 (facile).
Tu n'a plus qu'a utiliser la norme matricielle pour evaluer la difference entre les deux rotations. J'ai pas poussé tous les calculs, mais il me semble que ca fonctionne bien.
Sinon, le lemme que tu as indiqué fonctionne comme l'indique 0577, il te suffit de remarquer que |AB-CD|=|AB-CB+CB-CD| <= |B||A-C|+|C||B-D| et tu récurres.

[invite76543456789]

Encore plus simple!
Tu ecris P la matrice de passage de la base (v1,v2,v3) à la base (v1+u,v'2,v'3) donné par le procédé de schmidt comme indiqué dans mon message precedent, il est là aussi facile de montrer que la matrice de passage moins l'identité est petite et de meme pour son invers
Si R_t est la matrice de ta rotation initiale dans la base (v1,v2,v3), et si l'on désigne par R_a la matrice de la rotation d'axe v1 et d'angle a et alors tu veux regarder |R_t-PR_{t+e}P^{-1}|<=|R_t-PR_tP^{-1}|+|P(R_t-R_{t+e})P^{-1}|, et en ecrivant P=1+qqch de petit et P^{-1}=1+qqch de petit, et en developpant tout ca, tu retrouves tes petits.

[Snowey]

je regarde et je vous réponds, mais merci beaucoup de m'avoir répondu, c'est gentil

[Snowey]

Désolé, contre temps ^^
Je réponds petit à petit.

Sinon, le lemme que tu as indiqué fonctionne comme l'indique 0577, il te suffit de remarquer que |AB-CD|=|AB-CB+CB-CD| <= |B||A-C|+|C||B-D| et tu récurres.

oui, c'est assez classique comme découpe, je n'avais juste pas pensé qu'une simple récurrence fonctionnait ahah
Mais c'est super pratique !

Voilà ce que je comptais faire (ce que tu m'as aussi conseillé dans ton premier message MissPacMan):
Hier, j'avais déjà écrit les matrices de passage pour me ramener aux formes canoniques des matrices de rotations, en choisissant l'axe de rotation porté par le vecteur , un vecteur normé normal et leur produit vectoriel . Et on obtient de manière assez évidente les matrices de passage P de la base canonique normalisée dans cette base et vice versa, en remarquant la propriété très utile dans ces calculs: . On a alors où R est la forme canonique de la rotation !
C'en est quasiment fini pour les calculs avec le résultat du lemme !

Car alors je peux écrire (arrêtez moi si dans ma joie j'ai raté quelque chose ): .
Pour être plus précis, je détaille encore un peu: avec la découpe en trois proposée() on écrit que et on va assimiler ces réels aux matrices écrites au dessus, en remaquant qu'avec les hypothèses:
- impose bien (c'est immédiat avec les écritures des vecteurs v et w) (les vecteurs de départs sont normés, ce qui permet certaines minorations)
- (sinus et cosinus contractants ...)

Enfin, la norme est une norme d'algèbre et on a, les vecteurs étant normés dès le début, (majorations sûres, car on a bien )

Et donc, finalement, on parvient à montrer que

Pour MissPacMan: Est ce correct ? Je voulais absolument écrire quelques calculs pour que tu vois bien que je cherches
Par contre, je n'ai pas utilisé la norme d'opérateur, car je ne la connaissais tout simplement pas et sa définition (wikipédia) me laisse un peu ... dans l'expectative ^^ Aide t'elle beaucoup ici ? (avec la norme infinie et tes conseils, celà m'a l'air de marcher pas trop mal, mais est-ce correct, ou dois-je utiliser la norme ? celà ne change pas grand chose de tout façon, car j'ai juste besoin que ce soit une norme d'algèbre à un instant et comme les normes sont à un facteur près les mêmes ...)
Je n'ai pas non plus saisi ton second message :/

En espérant avoir réussi à avancer dans la bonne direction,

Snowey

PS: avec ça, on a bien la continuité de la fonction initiale, pas vrai ?

[Snowey]

Je remarque juste (mais personne ne l'aura vu passer ) qu'il manque un facteur dans les majorations concernant les matrices de passage.
Il se ballade globalement un peu partout, et on arrive plutôt (mais c'est anecdotique) à ... bref

[Seirios]

La discussion date un peu, mais je me permets d'ajouter un autre point de vue, que j'aime assez :

Considérons l'algèbre des quaternions muni du produit scalaire (je rappelle que ), correspondant à la forme quadratique . Remarquons que est l'orthogonale de .

Faisons agir sur par . Il se trouve que est orthogonale pour la forme quadratique et qu'elle laisse stable (puisque est central dans ), et donc son orthogonal . Ainsi, est à valeur dans .

Maintenant, est connexe (plus précisément, correspond aux quaternions de norme 1, donc homéomorphe à ), par conséquent l'image de est incluse dans la composante connexe de l'identité de , c'est-à-dire . La surjectivité peut se montrer simplement en exploitant les structures de groupes de Lie, ou bien avec un peu plus de travail en montrant que l'image contient les retournements qui est une partie génératrice de .

On a donc un morphisme surjectif . Le noyau de correspond aux éléments centraux de de norme 1, c'est-à-dire .

L'isomorphisme (de groupes) ainsi trouvé donne deux interprétations topologiques :
- (homéomorphe à ) est le revêtement universel de et .
- est homéomorphe à où l'action sur la sphère correspond à la réflexion antipodale. (Remarquer que les morphismes utilisés ne sont que des multiplications matricielles, ils sont donc bien continus.)

[Snowey]

Merci beaucoup

[Snowey]

Juste une question: est-il possible de trouver le groupe fondamental des rotations de l'espace grâce à l'isomorphisme exhibé, mais sans utiliser les revêtements ?

[Seirios]

Le problème est qu'un morphisme est de nature algébrique alors que le groupe fondamental est une propriété topologique, donc quelque part il va falloir utiliser les propriétés topologiques du morphisme : soit dire qu'il s'agit d'un revêtement, soit que l'isomorphisme induit est également un homéomorphisme pour finalement ramener le problème à (mais qui se résout généralement avec les revêtements ; cela dit, on doit pouvoir tout de même faire les calculs sans mentionner que l'on manipule vraiment des revêtements).

[Snowey]

Je comprends, oui.

J'essaie d'introduire "géométriquement" le groupe fondamental des rotations (à l'intuition dans un premier temps donc), aussi ai-je envie de montrer que (la boule de R3 dont les points antipodaux sont associés) est homéomorphe à SO(3).
En posant g de B dans SO(3), , (rotation d'axe porté par x, d'angle le second argument) on a une surjection continue (les angles sont choisis dans ), et la relation d'équivalence R écrite précédemment est précisement celle qui permet de rendre g injective, puisque (soit même axe et même angle, soit même axe, et un angle de , donc même retournement).
Ma question est donc de nature topologique (il était temps) de base: comment justifier que
-g restreinte à , notée , est encore continue
- est encore compact ?

Merci d'avance, je sais que j'ai déjà énormément demandé, je progresse petit à petit, et vous suis encore et toujours très reconnaissant des réponses que vous m'apportez.

[Seirios]

Notons la surjection canonique qui a un point de associe sa classe d'équivalence modulo . Par définition de la topologie quotient, est continue, donc est compact en tant qu'image d'un compact par une application continue.

Ensuite, avec mes notations, tu as . Or c'est une propriété de la topologie quotient que pour toute fonction , est continue ssi est continue.

[Snowey]

Merci Seirios, j'en étais parvenu à la même conclusion (j'entends: les mêmes arguments) mais bien plus tard que toi, et comme ma connexion était inexistante ... ça m'a fait réfléchir, je pense que j'ai mieux assimilé.
Saurais-je un jour faire des maths ? ^^

Merci, et bonne nuit !