Limite d'une suite

[invite9974b71e]

Bonsoir,

Je bloque sur le calcul de cette limite :

lim n -> infini de n^3/((3 + (1/n))^n))

(Désolé, je vais me mettre au Latex tôt ou tard... ).

Le truc c'est que je ne sais pas comment démarrer. Dois-je essayer de faire apparaître le fameux 1 + 1/n au dénominateur (pas facile il me semble..).
J'ai aussi tenté de mettre au même dénominateur en bas, j'arrive du coup à une autre expression mais je ne vois pas trop l'astuce. Si quelqu'un a une piste ?

Merci d'avance.
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[gg0]

Bonsoir.

Vu l'apparition d'une puissance variable, je serais très tenté de calculer le logarithme ...

Bon travail !

[invite9974b71e]

Bonsoir, merci pour ta réponse, mais en quoi consiste cette méthode ?

Je calcul simplement ln (an), an étant ma suite, et ensuite la limite du ln sera la limite de ma suite ? J'aimerais bien une petite explication sur cette technique.

Merci bien.

[gg0]

"ensuite la limite du ln sera la limite de ma suite ?" ?? Tu y crois ???
Bon, sois sérieux ! la limite sera le ln de la limite de la suite. Tout simplement, et tu le sais (et tu aurais dû y penser seul ):


Il n'y a pas de "technique à expliquer", simplement utiliser les règles connues de maths.

Mais si tu ne veux pas calculer, continue à poser des questions inutiles.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9974b71e]

Désolé la fatigue simplement.. Merci.

[invite9974b71e]

OK alors plus sérieusement,

J'ai suivi tes conseils, j'arrive à :

e^[3ln(X) - (ln(3+X))/X]

J'ai en effet posé X = 1/n avant que quand n tende vers l'infini, X tende vers 0. Maintenant je dois passer par les développements limités au voisinage de X0 = 0 pour m'en sortir non ? J'ai tenté de débuter ainsi, je suis rapidement contré par le ln(X) notamment.

Alors plus simplement encore, je constate que la limite du terme de droite, je la connais, d'après l'hôpital notamment, c'est 1/3. Pour ce qui est de ln(X), en zéro ça tend vers moins l'infini. Au final si je ne dis pas de bêtises, j'obtiens e^(-l'infini) ce qui nous amène à zéro !

Trouves tu toi aussi 0 comme limite pour ma suite ?

Merci bien ! (Et sorry pour l'avant dernier message, je n'ai pas fais attention à ce que j'ai écris je te rassure..).

[invite9974b71e]

Oups, dernier message faux aussi décidemment

Bon dans tout les cas, problème résolu. Donc merci.

A Bientôt.

[topmath]

Bonjour en cherchant dans l'historique des discussions , je trouve cette limite ci haut ma question est la suivante peut on calculez cette dernière sans utiliser le développement limité ni la la règle de L'Hôpital merci d’avance.

[Seirios]

Comme l'a mentionné gg0, passer au logarithme suffit, suivit d'une factorisation par pour lever l'indétermination.

[topmath]

bonjour c'est vrais merci Seirios.

Cordialement

[breukin]

Et puis il est toujours intéressant :
1) de ne pas mettre des parenthèses inutiles : n^3/(3+1/n)^n est largement suffisant sans ambiguïté (la preuve, vous avez une parenthèse fermante en trop, comme quoi on s'y perd quand on en met trop, mais bien sûr, il faut aussi ne pas les oublier quand elles sont indispensables...)
2) de factoriser :

En passant au logarithme, ça donne donc
Le terme dominant (en valeurs négatives) sera celui du milieu, le dernier tendant vers -1/3.

[topmath]

Bonjours super ce que vous avez fait , c'est bien détaillez avec de la rigueur seulement j'aimerai bien SVP un détaille sur la dernière ligne c-a-d

Le terme dominant (en valeurs négatives) sera celui du milieu, le dernier tendant vers -1/3.

comment en arrive aux résultat final par ce que j'ai pas bien saisis merci d’avance.


Cordialement

[breukin]

, donc le dernier terme (avec son signe moins) tend vers -1/3.
Le terme dominant est donc celui en n (il domine aussi celui en ).
Donc le log tend vers et la suite tend vers 0.
C'est quand même assez élémentaire.
Il faut que vous vous posiez la question de savoir pourquoi vous n'arrivez pas à conclure tout seul.

[topmath]

Bonjour ah d'accord j'ai cru que la limite est -1/3 j'ai pas fait attention merci beaucoup breukin ;