Exercice sur le binôme de Newton

[mtjalu]

Bonsoir,

J'ai un exercice de maths qui me pose problème :

Soit n>=1 un entier naturel.
1) Calcul le module et l'argument de (1+i)^n.
2) En déduire la valeur des entiers S₁ et S₂ définis par :

S₁ = Somme de k=0 à [n/2] de [(-1)^k]*[2k parmi n]
S₂ = Somme de k=0 à [(n-1)/2] de [(-1)^k]*[(2k+1) parmi n]

(désolé de devoir l'écrire en francais, je n'arrive pas à l'écrire sous sa forme mathématiques)

Donc pour la question 1) :
arg[(1+i)^n] = 0 [pi/4]
mod[(1+i)^n] = 2^(n/2)

Après pour la question 2), je pense qu'il faut utiliser la formule du binôme de Newton pour (1+i)^n :
[(1+i)^n] = Somme de k=0 à n de (k parmi n)*i^k

Je ne sais pas comment procéder à partir de là...

Merci.
Cordialement.
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[ericcc]

Sépare les parties réelles et imaginaires de ta somme !

[Seirios]

Bonsoir,

Tu peux calculer selon la parité de k.

[DucK974]

Salut.
Essaie de décomposer la somme du binôme de Newton en deux parties ... une regroupant les termes paires et l'autre les termes impaires pour k. Tu devrais trouver ce que tu cherches.

[A voir en vidéo sur Futura]

[mtjalu]

D'accord, j'ai tenté quelque chose..

On a [(1+i)^n] = Somme de k=0 à n de (k parmi n)*(i^k)
Si k-->2k alors n-->[n/2]
Donc, Somme de k=0 à [n/2] de (2k parmi n)*(i^k) = (1+i)^(n/2)

Mais pour S₂, cela pose problème...car :
Si k-->2k+1 alors n-->(n-1)/2
Donc, Somme de k=0 à [(n-1)/2] de (2k+1 parmi n)*(i^k) = Somme de k=0 à [(n-1)/2] de (2k+1 parmi n)*(-i)

Merci

[gg0]

Bon,

comme tu risques de tourner en rond pendant des jours, je te propose de regarder cela plus concrètement, en prenant de petites valeurs de n.
N=3 : Combien vaut (1+i)³ (sous la forme a+ib) ? Quel est son développement par la formule du binôme (sous la forme a+ib) ? Que peut-on en déduire ?
N=4 : Combien vaut (1+i)⁴ (sous la forme a+ib) ? Quel est son développement par la formule du binôme (sous la forme a+ib) ? Que peut-on en déduire ?
N=5 : Combien vaut (1+i)⁵ (sous la forme a+ib) ? Quel est son développement par la formule du binôme (sous la forme a+ib) ? Que peut-on en déduire ?

Quand tu auras vu ça, tu commenceras peut-être à comprendre ce qu'on veut te faire faire.

Cordialement.

[DucK974]

En effet, tu y es presque. S1 + S2 = ??? ...

[mtjalu]

gg0,

n=3 : Combien vaut (1+i)³ (sous la forme a+ib) ? Quel est son développement par la formule du binôme (sous la forme a+ib) ? Que peut-on en déduire ?

(1+i)³ = -2+2i
(1+i)³ = Somme de k=0 à 3 de (k parmi 3)*i^k = (0 parmi 3)*i⁰ + (1 parmi 3)*i¹ + (2 parmi 3)*i² + (3 parmi 3)*i³ = 1+3i-3-i = -2+2i
Et je ne vois pas ce qu'on peut en déduire..

n=4 : Combien vaut (1+i)⁴ (sous la forme a+ib) ? Quel est son développement par la formule du binôme (sous la forme a+ib) ? Que peut-on en déduire ?

(1+i)⁴ = -4
(1+i)⁴ = Somme de k=0 à 4 de (k parmi 4)*i^k = (0 parmi 4)*i⁰ + (1 parmi 4)*i¹ + (2 parmi 4)*i² + (3 parmi 4)*i³ + (4 parmi 4)*i⁴ = 1+4i-6-4i+1 = -4

n=5 : Combien vaut (1+i)⁵ (sous la forme a+ib) ? Quel est son développement par la formule du binôme (sous la forme a+ib) ? Que peut-on en déduire ?

(1+i)⁵ = -4-4i
(1+i)⁵ = Somme de k=0 à 5 de (k parmi 5)*i^k = (0 parmi 5)*i⁰ + (1 parmi 5)*i¹ + (2 parmi 5)*i² + (3 parmi 5)*i³ + (4 parmi 5)*i⁴ + (5 parmi 5)*i⁵ = -4-4i


DucK974,

S₁ + S₂ = (1+i)ⁿ non ? (je ne suis pas du tout sûr)

Merci.

[DucK974]

En effet, en utilisant le binome de Newton et en séparant cette somme en terme impaire puis en terme paire tu as fait ressortir S1 et S2 et donc en utilisant la première question tu peux trouver leurs valeurs.

[gg0]

Et je ne vois pas ce qu'on peut en déduire..

parties réelles : 1-3=-2
parties imaginaires 3-1=2
Plutôt :



Au passage, tu as vu que la forme de (1+i)ⁿ dépend fortement de n.

Cordialement.