ensembles dénombrables

[invitea0e2711f]

Bonjour.
J'ai un petit souci. je n'arrive pas à trouver une définition exacte d'un ensemble dénombrable. Il y en a 2 que j'ai rencontrées. En premier, un ensemble est dit dénombrable s'il est en bijection avec IN et au plus dénombrable s'il est fini ou dénombrable. Un ensemble fini n'est donc pas dénombrable. En second, un ensemble est dit dénombrable s'il est en injection avec IN. En particulier tout ensemble fini est dénombrable. J'ai même appris que si l'ensemble est infini l'application injective est une bijection. Je suis un peu perdu... vous pouvez m'aider?

Merci de m'avoir lu.
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[inviteea028771]

Il y a en effet les deux définitions qui existent, et qui dépendent des auteurs (et des pays).

Donc soit :
a) dénombrable = infini dénombrable + fini
b) dénombrable = seulement infini dénombrable


Et pour la dernière propriété, énoncé comme cela c'est faux. Par exemple, si l'ensemble qui nous intéresse est l'ensemble des nombres premiers P, il y a une injection i évidente :
i(p) = p (on associe au nombre premier sa valeur)
Ça n'est évidement pas une bijection, par contre on peut toujours en construire une

[invite7d659078]

Bonjour
voila la définition d'un ensemble denombrable que je sais
en generale un ensemble est dit denombrable si il est en bij avec N ou partie de N, mais voila pour comprendre le sence de denombrabilité , un ensemble dit denombrable si on peut compter ses elements c a dire on peut identifier chaque element de cet ensemble sous cette forme par exemple H={e1,e2,...en,...} comme ca.
exemple Q,N^n,
remarque : un ensemple fini et denombrable toujouuuuur.
aussi un ensemble denom est en surjection avec un autre ensemle denombrable.

[Seirios]

aussi un ensemble denom est en surjection avec un autre ensemle denombrable.

Si tu inclus les ensembles finis dans la définition de dénombrabilité, c'est incorrect : il n'y a pas de surjection d'un ensemble fini dans IN.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7d659078]

Bonjour
oui t'a raison il n'est y a pas une bijection entre les deux ,Mais il suffit de trouver une bijection avec un sous-ensemble de N pour dire q'un ensemble E est denombrable. exemple
E={e1,e2,e3,...,en} ensemble fini
alors je considére l'application f: {1,2,...,n} -------->E
i--------------->ei c'est une bijection danc E est denombrable.

[Seirios]

Ce que je voulais dire, c'est ta dernière phrase laisse entendre que pour deux ensembles dénombrables quelconques, il existe une surjection de l'un dans l'autre, ce qui est incorrect ; mais ce n'est peut-être pas ce que tu as voulu dire.

[invite7d659078]

oui t'a raison ce que je voulais dire est que un ensemble dit denombrable SI il est en surjection avec un autre ensemble denombrable. Je croix mantenant que tu va me comprendre.

[invite179e6258]

ça c'est une définition pas très opérationnelle. Et de plus fausse. La fonction partie entière est une surjection de R sur Z mais R n'est pas dénombrable.