Théorème de Rolle

[invitee597aaaf]

Bonsoir à toutes et à tous, je poste aujourd'hui ce message car je bloque sur un exercice.

Voici un screen de l'énoncé :
capture.png

Évidemment je ne suis pas là afin de quémander la réponse à cet exercice, mais bien présent pour comprendre la démarche à adopter pour résoudre d'autres exercices similaires (l'ordre et les fonctions pouvant varier).

Je regarde mes deux fonctions donnés, ainsi que l'intervalle donné dans l'énoncé, je regarde quelle valeur pose problème pour la continuité et la dérivabilité, ici il s'agit de toute évidence lorsque x = 4.
Ensuite je regarde l'ordre, ici on me dit à l'ordre 1, donc je dérive une fois chaque fonction et j'obtiens l'équation suivante :
-a1*sin(x) + a2*cos(x) = 3

Je me rappelle que le problème est en 4, ainsi je tente de résoudre :
-a1*sin(-4) + a2*cos(-4) = 3

J'obtiens à chaque fois la moitié des points, car j'ai vérifié la continuité mais pas la dérivabilité.

Une idée ?
Je me doute que je n'emploie pas la bonne méthode, sachant que nous avons vu Rolle au moment où nous travaillons sur cet exercice.

Je vous remercie d'avance de vos remarques et éventuelles suggestions !
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[invitee597aaaf]

Voici l'énoncé :

[inviteea028771]

Le théorème de Rolle n'a pas d'utilité ici

Sur un exemple plus simple :

f(x) = sin(x) pour x > 0 et ax+b pour x<0

Détermine les valeurs de a et b pour que cette fonction soit continue et dérivable en 0.

[invitee597aaaf]

f(x) = sin(x) pour x > 0
f(x) = ax+b pour x <= 0

f ' (x) = cos(x) pour x > 0
f ' (x) = a pour x <= 0

On doit donc résoudre cos(x) = a pour que f soit continue et dérivable (une fois, autrement dit dérivable jusqu'à l'ordre 1).
On obtient x = cos^(-1)(a).

C'est ça ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteea028771]

En fait l'idée est de résoudre un système linéaire :

f continue en 0 donne l'équation suivante (en remplaçant x par 0):

sin(0) = a*0+b

f dérivable en 0 donne l'équation suivante :

cos(0) = a

Ensuite on peut résoudre le système (ici c'est trivial)

Quelles sont, en procédant de la même façon les deux équations que tu obtiens pour ton exercice?

[invitee597aaaf]

Oui effectivement ici c'est trivial, j'ai compris la majeure partie de ton raisonnement qui effectivement paraît tout à fait logique.

J'ai réalisé plusieurs exercices et cependant je n'ai bon en moyenne qu'à deux sur trois, en fait lorsque j'ai faux on m'indique que mes valeurs de a1 et a2 vérifient la continuité mais non la dérivabilité.
Généralement je me trompe, ou du moins j'ai ce genre d'erreurs sur les fonctions employant cosinus et sinus.

Voici un exemple d'exercice que je viens de réaliser selon le raisonnement suivi jusqu'à présent :

Énoncé
Exercice. Soit f (x) une fonction réelle définie sur l'intervalle [-1.5,-0.5], par les formules suivantes.

f (x) = {-9+2x si x<-1
{a1*cos(x)+a2*sin(x) si x>=-1

Veuillez trouver les valeurs des paramètres a1, a2 telles que f (x) soit continue et dérivable d'ordre 1.

Mon raisonnement
D'abord je commence par dériver la fonction une fois, j'obtiens :
f ' (x) = {2 si x < -1
{-a1*sin(x)+a2*cos(x) si x >= -1

Ainsi en remplaçant x par -1 dans les deux fonctions dont je dispose actuellement c'est-à-dire f(x) ainsi que sa dérivée j'obtiens un systême à deux inconnues :
{a1*cos(-1)+a2*sin(-1) = -11
{-a1*sin(-1)+a2*cos(-1) = 2

<=>
{a1=(-11-a2*sin(-1))/cos(-1)
{-[(-11-a2*sin(-1))/cos(-1)]*sin(-1)+a2*cos(-1) = 2

<=>
{a1 = ...
{(11+a2*sin^2(-1))/cos(-1)+a2*cos(-1) = 2

<=>
{a1 = ...
{11+a2*sin^2(-1)+a2*cos^2(-1) = 2*cos(-1)

<=>
{a1 = ...
{a2(cos^2(-1)+sin^2(-1)) = 2*cos(-1)-11

<=>
{a2 = -9.919395388...
{a1 = -35.8075159

Résultat
"Cette réponse n'est pas juste. f (x) est continue mais elle n'est pas dérivable. Vous avez obtenu la note de 5/10."

Vérification
f(-1) = {-9+2*(-1) [= -11]
{-35.808*cos(-1)-9.919*sin(-1) [= -11]

f ' (-1) = {2 [= 2]
{35.808*sin(-1)-9.919*cos(-1) [= -35.491]

Je ne comprends pas pourquoi ma fonction est continue mais non dérivable, je vois bien que les valeurs pour f ' (-1) sont différentes, mais alors ma question est donc de savoir quelles valeurs j'aurais du trouver pour vérifier à la fois la continuité et la dérivabilité (qui me pose le plus de problèmes).

Je vous remercie d'avoir lu ce long pavé, et vous remercie d'éclairer ma lanterne

[gg0]

Bonjour.

Les nombres trouvés ne sont pas solutions du système de départ (mais sont des solutions de la première équation).
cette ligne est fausse :
{(11+a2*sin^2(-1))/cos(-1)+a2*cos(-1) = 2
le sinus multiplie aussi le 11.

Donc pas trop de problèmes, seulement un manque de sérieux dans l'application des règles de calcul.

Cordialement.

NB : le système a des solutions simples : a1 = 2*sin(1)-11*cos(1), a2 = 2*cos(1)+11*sin(1).

[invitee597aaaf]

C'est bon, j'arrive à résoudre tous les exercices où l'ordre est égal à 1.
En fait c'est plus facile qu'il n'y paraît.

Je vous remercie de votre aide et de vos réponses très claires