équation paramétrique d'une droite

[invite5ffffaa4]

Bonjour,

Quelqu'un pourrait t'il m'éclairer?

J'ai deux plans d'équation:
P: x-2y+z+1=0
P': 2x+y-z+3=0

J'aimerais montrer que l'intersection de ces deux plans est une droite.

Première chose que je ne saisie pas, dans la correction, ils ont posé la matrice augmenté du système
et on remarque que le rang de la matrice est égale à deux. ils en tire comme conclusion que l'intersection est une droite. Pourquoi?
Pourquoi lorsque le rang est égale a deux, on peut en déduire que l'intersection est une droite?

Autre chose, on sait qu'un plan de l'espace admet pour équation ax+by+cz+d=0 ou a,b et c ne sont pas tous nul.
Imaginons que je pose a=0 du coup, l'équation de mon plan devient by+cz+d=0, or il s'agit de l'équation d'une droite affine.
Comment fait ton la distinction.

Merci d'avance.
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[gg0]

Bonjour.

Pour ta première question, je ne sais pas (je ne connais pas la notion), mais deux plans se coupent suivant une droite s'ils ne sont pas parallèles; et le plan d'équation ax+by+cz+d=0 a pour vecteur normal le vecteur de coordonnées (a,b,c). les plans ne sont pas parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux ne le sont pas. ici, les vecteurs de coordonnées (1,-2,1) et (2,1,-1) ne sont manifestement pas parallèles.

Pour ta deuxième question, tu n'as pas sérieusement réfléchi : "Imaginons que je pose a=0 du coup, l'équation de mon plan devient by+cz+d=0, or il s'agit de l'équation d'une droite affine." ??? Où as-tu vu une droite ? On est dans l'espace, ton équation reste la condition sur le point M(x,y,z) pour qu'il soit dans l'ensemble (un plan dans ce cas). le fait de ne pas écrire de x n'a pas supprimé une dimension de l'espace !
Dans l'espace, on donne une droite par deux plans qui se coupent, ou par un système d'équations paramétriques.

Cordialement.