je pense que vous avez tous les deux raisons. Hilbert ne définit pas le point en lui-même (il n'y a pas d'ontologie du point) et il n'est défini que par ses relations avec d'autres éléments de la géométrie en question. Mais ces relations sont la définition, il ne peut y en avoir d'autre.
Oui, celui de donner les éléments nécessaires et suffisants pour faire des mathématiques, toute définition du point autre que celles contenues dans une axiomatique ne permet pas de faire des mathématiques (ce qui ne veut pas dire que cela n'a aucun intérêt), ou alors donnez moi la définition d'une démonstration.Envoyé par gg0
Puisque vous abandonnez, vous ne donnerez pas la définition d'un élément neutre pour illustrer votre propos, ce qui est bien dommage, vous auriez constaté qu'elle ne se démarque pas de celle d'un point donnée par les axiomes de la géométrie par Hilbert.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Merci toothpick-charlie, je me sens moins seul.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Il me semble que des domaines de connaissance distincts sont mélangés dans cette phrase (définition au sens commun, et l'autre du domaine mathématique). Ceci dit, je ne suis pas dans votre esprit, pour être sûr, que c'est effectivement pas le cas (et notamment que c'est implicite puisque nous sommes dans la section mathématique), auquel cas, je vous demande d'excuser ce message.
Dernière modification par invite7863222222222 ; 21/01/2013 à 12h17.
Médiat,
puisque vous me titillez, je ferai la différence grammaticale entre définir un nom et définir un adjectif. Un élément neutre est trouvé dans son ensemble et pour la loi de composition donnée par ses propriétés. les propriétés concernent l'adjectif "neutre", qui justement, qualifie une propriété. On ne définit pas ici le nom élément, notion première de la théorie des ensembles (appeler élément les noms qui se situent immédiatement avant unest une dénomination scripturale, pas un définition mathématique. A comparer avec la définition de "loi de composition", ou de "suite".
Par contre, pour un nom, la définition mathématique est toujours une description des éléments caractéristiques. Voir la définition de "loi de composition", ou de "suite".
Dans l'axiomatique de Hilbert, les mots point, droite et plan ne sont pas définis, seules les relations entre eux sont définies. Dans la théorie naïve des ensembles, les noms élément et ensemble ne sont généralement pas définis, seuls leurs relations sont données. Dans les deux cas, certains verbes ou locution verbales (être sur, être dans, se couper, .. appartenir) aussi sont non définis. Même si tout ça recouvre des idées plus ou moins intuitives, qui leur donnent du sens (ou ont des conséquences inattendues).
Maintenant, on peut toujours tordre le vocabulaire pour dire "c'est défini par les propriétés", ce n'est qu'un abus d'utilisation du mot "défini".Et ça n'aide pas la réflexion sur le sujet.
Cordialement.
NB : Je n'ai pas défini l'objet "élément neutre", puisque ce n'est pas nécessaire
Et vous me reprochez à moi de jouer sur les mots.
Si les noms Point, Droite, Plan vous dérangent vous n'avez qu'à les appeler "Elément pointal", "Elément Droital" et "Elément Planal" (ce qui correspond, d'ailleurs, à la suggestion que j'ai déjà faite d'utiliser des prédicats unaires pour différencier ces éléments.
Vous dites que seules les relations entre points , droites et plans sont définies, mais dans la définition d'un groupe, seuls les relations entre éléments sont définies (c'est pareil), quand vous définissez un élément neutre, vous ne faite que définir ses relations avec les autres éléments (c'est pareil) !
Si vous utilisez autre chose que ce qu'il y a dans les axiomes, j'aimerais bien savoir ce que vous appelez "Démonstration" (question déjà posée,mais toujours sans réponse).
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Mais il n'y a pas d'éléménts, dans l'axiomatique de Hilbert. Ce n'est pas moi qui joue avec les mots.
Et "point" est un nom, pas une propriété.
Appeler "définir" le fait de ne pas donner une définition, n'est-ce pas jouer avec les mots ?
Bon, on ne se mettra pas d'accord, puisqu'on ne l'est pas sur le sens des mots. Mais il ne faut pas se plaindre si de trop nombreuses personnes considèrent les maths comme une discipline ésotérique.
Cordialement.
C'est aussi ce que j'ai essayé à dire . De plus je ne vois pas ce qui pourrait être défini par ce qu'il est, même pas une chaise (On se réfère toujours à des qualifiants pour exprimer relations, fonctions, propriétés, ... qui en devient une définition).
Patrick
Dernière modification par invite6754323456711 ; 21/01/2013 à 16h11.
Pour ta pièce de théâtre je te propose une approche Raymond Devos : Un point c'est rien. un point, c'est tout
Patrick
J'ai en tête qu'une définition "par ce qui est", serait une définition, par ce qui est commun, à tout ce qui est formalisé (une sorte de substrat à multiples facettes récolté de plusieurs domaines). Par exemple, un point en topologie, un point en géométrie, etc. mais il n'y a pas de "ponts" entre ces domaines, c'est ce que nous faisons par nous même. C'est ainsi, il me semble, que "ca fonctionne".
Dernière modification par invite7863222222222 ; 21/01/2013 à 16h28.
Bonjour,
Je ne vois pas pourquoi il y a tant de discordances. Un point c'est une dénomination folklorique pour designer un élément d'un ensemble dans certains contextes, qui sont souvent des contextes géométrique, c'est a dire des contextes ou un dessin aide parfois au raisonnement.
Je vous joins ici cette petite peinture humoristique que j'ai faite faire un jour (avec Omar Kayyham et un certain CV, à laquelle j'ajouterais maintenant à la légende :
La mathématique est le seul domaine où tout le monde est toujours d'accord car si on n'est pas d'accord -Les fondements- au moins on sait sur quoi, donc on est d'accord... c'était pour le côté ésotérique cité plus haut...
Par ailleurs, je crois qu'en effet la conversation devient stérile avec Médiat (Dont l'axiome, cité par moi puisqu'il ne voulait visiblement pas le faire, ne définit pas du tout le point, mais présuppose bien son existence (il suffit de lire) et définit seulement une relation avec la droite, autre objet ici non défini).
Soyons précis :
1. Comme on l'a vu, toute définition, faisant forcément appel à une autre définition, mène à un cercle : on ne peut rien définir de façon absolue.
2. On crée alors des ordres logiques du langage, si bien -Comme je l'ai déjà mis plus haut- qu'on va définir l'égalité par le méta-langage (2e ordre) puisqu'il faut mettre un quantificateur universel sur l'ensemble des prédicats (a=b ssi quelque soit un prédicat P on ait : P(a) ssi P(b)).
3. D'après 1. on ne peut pas tout définir, si bien qu'on présuppose certaines choses qu'on ne définit pas mathématiquement (comme le point !) et à partir desquelles on définit réellement des choses mathématiquement, par exemple : dès lors que l'espace et la métrique sont là : on peut rigoureusement définir la médiatrice d'un segment. On peut définir un ensemble de façon extensive ou intensive (énumérer les éléments ou donner unr propriété commune). Un ensemble E est définissable dans un ensemble U (à ne pas oublier, sinon on tombe dans le paradoxe de Russel je crois), selon moi, si il existe une formule F telle que les éléments de E sont exactement ceux de U vérifiant la formule F.
Pour ce qui est de la définition d'une "démonstration"...
???
Une démonstration ça n'existe pas : ce qui existe c'est la démonstration d'une proposition dans un système axiomatique, c'est relatif.
Je peux très bien prouver que 2+2=6... par exemple si j'ai supposé que 2 valait 3.
La définition d'une démonstration est inductive à mon avis :
Une démonstration est une suite finie de propositions qui sont déduites soit des axiomes soit d'autres propositions déjà démontrées en utilisant les règles de déduction (comme le modus ponens ou syllogisme) qui sont elles mêmes des sortes d'axiomes.
Pour l'élément neutre, il est bien défini ainsi que je l'ai fait dès lors qu'on impose l'existence d'un objet vérifiant une certaine propriété.
La loi de composition est, elle aussi, définie (par un autre axiome)
Mais pas le point...
Et tout ceci ne répond finalement en rien à ma question métamathématique... car si on découvre les maths il faut bien savoir ce qu'est un point.
Enfin, il me semble qu'une fonction est une relation particulière. Nous n'avons en maths que des objets et des relations.
S'il n'y avait pas de vérité absolue, "toute vérité est relative" en serait une
Je pense qu'aucun mathématicien ne se plaint de ça. Les maths ne sont pas une discipline grand public et c'est très bien comme ça.
Mais bien sûr que si, certains de ces éléments sont des points d'autres des droites, d'autres des plans, différences qui peut se faire de plusieurs façons, l'une de ces façons est de considérer des prédicats unaires pour les différencier, c'est tout, et pour avoir le droit de porter ces noms, il faut vérifier certains axiomes, rien de plus !
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
J'aime bien aussi Poincaré. La genèse de la géométrie par des opérations évoque le comportement des jeunes enfants qui acquièrent le sens de l'espace en remuant des objets : le jeu prépare à la connaissance. "Ayant nommé les « points », puis les « déplacements », opérations sur les points, nous n'échapperons pas au niveau suivant : les opérations sur les déplacements" : La grammaire de la nature de JM Souriau.
Un point c'est rien tant qu'il :
- N'a pas été nommé afin de le fixer comme objet d'étude
- n'est pas qualifié par des propriétés/relations/fonctions pour le caractériser dans un espace cadre donné (la géométrie entre autre)
Patrick
Dernière modification par invite6754323456711 ; 21/01/2013 à 16h52.
Parceque lorsqu'on pense à un point, on a pas en tête il me semble "un élément d'un ensemble" comme vous le proposez.
On découvre bien la nature sans savoir ce qu'elle est.
Patrick
Décidement, c'est très agréable d'essayer de vous faire comprendre un peu de mathématique, mais comme vous n'êtes pas le seul lecteur, je continue de répondre, mais de grâce ne lisez pas ce qui suit !
On ne présuppose pas plus son existence que l'on ne présuppose l'existence du neutre (ce n'est pas un adjectif, mais un nom) pour une loi de composition interne : c'est pareil !
Donc si je suppose qu'une démonstration est finie lorsque l'on remonte la chaîne de déduction, elle commence forcément par des axiomes, ce qui montre bien que ces axiomes sont nécessaires et suffisants pour faire des mathématiques, comme je l'ai déjà écrit, il n'est absolument pas utile (et c'est vous qui le dite) de faire appel à une autre définition
C'est ce que je me tue à répéter, il n'est définie que par ses propriétés et ses relations avec d'autres éléments du langage
Ce qui est exactement le cas du point.
Ceci, je le comprends bien, je vous ai déjà fait remarquer que ce n'était pas des mathématiques, mais de l'épistémologie, je vous propose donc de poser cette question purement épistémologique dans le forum "Epistémologie et Logique", en cadrant bien le sujet. Une bonne nouvelle pour vous, je n'interviendrai pas dans nouveau fil, puisque vous mettez en préalable une position platonicienne (que je respecte totalement), ce qui est contraire à ma position philosophique, sauf, éventuellement, pour préciser que cette position n'est pas la seule possible.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Bonjour à tous,
Discussion très intéressante!
Je crois que c'est le grand saut dans le gouffre philosophique là non (Même si je trouve la remarque très pertinente ...)? (Peut-il y avoir une distinction entre "être" et "être défini"?)
Peut être une exception ... si l'on avait aucune définition de "nous même", on serait quand même sûr d'être, non?
Bien sur que si.
Du reste "point" n'est pas un concept univoque, il a une définition différente en fonction des domaines, comme "géométrie" par exemple, ça n'est pas un terme technique, précis (même si ça peut l'être), un point en géométrie différentielle n'est pas du tout la même chose qu'un point en géométrie algébrique et pourtant on appelle bien les deux points.
Je ne connais aucun exemple de chose qui soient appelées points et qui ne désigne pas un element, on dit même des choses du style " un point de R" c'est dire.
Pour MissPacMan.
A noter qu'on sait construire les mathématiques sans les ensembles (donc sans les éléments), comme dans la présentation par les catégories. Dans cette présentation, les points ont une définition. En fait, dans ce cas, leur définition ramène à des notions premières non ensemblistes, assez proche de l'idée qu'un objet mathématique est ce qu'on fait de lui. Mais il existe à nouveau des objets non définis !Hilbert introduit trois types d'objets primitifs. Ces objets ne sont pas définis, il s'agit de point, de droite et de plan.
Certaines relations entre ces objets sont décrites par les axiomes, regroupés en cinq groupes : l'incidence (ou association, ou appartenance), l'ordre, les parallèles, la congruence, et la continuité.
In Wikipédia : http://fr.wikipedia.org/wiki/Axiomes_de_Hilbert
Cordialement.
Si "c'est dire", alors.
Tu l'as faite avec lui, ou tu veux dire qu'elle le représente ?
Rien ne sert de penser, il faut réfléchir avant - Pierre Dac
Pour Omar Khayyam la question ne se pose pas
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Pas vraiment non, la théorie des catégories ne peut se passer de la théorie naïve des ensemble ( déjà parce que les classes de morphismes sont des ensembles justement) ou d'un avatar de celle ci ( théorie des classes par exemple).
L'axiomatique de Hilbert Euclide c'est quand même très daté en mathématiques, plus personne ne fait des maths comme ça. Et si on se place dans ce contexte, je rejoins la position de médiat.
C'est pour dire a quel point dans les maths point et élément sont quasi synonymes (je crois d'ailleurs que Bourbaki le dit textuellement).
Avez vous un exemple du contraire? Un point du plan c'est, en langage moderne, un élément de R2.
Après ça veut pas dire que la notion de point ne peut pas devenir plus sophistiquée. Un point en géométrie algébrique c'est un idéal premier d,un anneau (grosso modo), ça n'en reste pas moins un élément d'un ensemble. On l'appelle point justement parce que ça représente qqch qui a des ressemblance avec la notion historique de point.
,
D'accord ! Mais j'ai posé la question pour Cédric Villani, parfaitement reconnaissable, parce que le mot "avec" est ambigu.Pour Omar Khayyam la question ne se pose pas
Rien ne sert de penser, il faut réfléchir avant - Pierre Dac
Ma réponse était pour dire, que je ne doute nullement de vos compétences en maths.
Oui, c'est bien Cédric Villani (j'ai créé pour l'IHP un spectacle de clown théâtre sur les travaux de Galois et de Poincaré (joué à la Sorbonne lors des journées Poincaré), c'est un petit clin d'œil (avec son accord bien sûr, pour Omar K. je n'ai pas réussi à le joindre...) et je pense que ce dessin n'est pas sans intérêt !
Je penserai, ok, à poser ma question en épistémologie.
Mediat : pas de souci, je comprends votre point de vue et ne rejette pas vos opinions ni propositions, juste que j'essaie d'entendre la "définition" de la définissabilité au sens logique du terme (avec la logique des ordres, et il me semble que l'élément neutre, la médiatrice, les entiers, sont définissables au premier ordre mais pas l'égalité ni le point). En effet : je ne doute pas qu'on en sache suffisament sur les points (c'est à dire rien...) pour pouvoir les utiliser !!
On n'a certes pas besoin de la réponse à ma question pour pouvoir faire des maths et donc utiliser les points !
Merci pour vos contributions à tous !
Cédric.
S'il n'y avait pas de vérité absolue, "toute vérité est relative" en serait une
j'ai cherché comment Euclide introduisait les points et droites, et il donne les définitions suivantes (désolé, je n'ai qu'une édition anglaise):
1. A point is that which has no part (on pourrait dire "un atome"?)
2. A line is breadthless length
3. The extremities of a line are points (ah, donc ses droites ne s'étendent pas jusqu'à l'infini)
mais le commentaire ajoute : "it has often been observed that Euclid makes no use of these definitions in his subsequent proofs. They are explications that should clarify the significance of a term to the reader but play no formal role in deductions."
Hilbert prend donc moins de gants avec ses lecteurs, et les laisse de débrouiller avec leur intuition (il est vrai qu'un lecteur de Hilbert a des chances d'avoir déjà entendu parler de points et de lignes et d'en avoir un image assez claire).
