Qu'est-ce qu'un point ?

[ilelogique]

Bonjoir,
cette question est un peu philosophique, espérons qu'elle a bien sa place ici...
Aujourd'hui, avec les géométries non euclidiennes, voire la théorie des ensembles, on va construire la géométrie sans définir le point.
On suppose en effet l'existence de ce dernier en mettant dans les axiomes de départ qu'il y a un ensemble non vide de "points". Et on part de là pour construire (et définir) les droites, les plans etc.

Mais si on s'interroge sur ce qu'est effectivement un point ? Alors bien sûr, en géométrie s'entend, on va dire intuitivement que c'est un "endroit", et que cet endroit est le plus petit possible au sens qu'il ne peut pas contenir d'autres endroits que lui même. Mais alors : il nous faut définir ce qu'est un endroit ?... Un point ? Même si une chaîne infinie de définitions est impossible et donc nécéssairement circulaire (on doit aller pour cela dans la logique et le métalangage (par exemple on peut se demander comment définir le mot "définition" étant attendu que tant que ce mot n'est pas défini on ne peut pas en définir d'autres si bien qu'on n'a pas de mot pour le faire...)), cette redondance ne va pas. On va cependant partir du fait que le point est un lieu et que, bien sûr, deux points A et B ne seront qu'un seul et même point, A=B, si et seulement si A et B sont au même endroit...

Mais alors, et je parle au sens intuitif de la géométrie : est-on certain qu'un point A est au même endroit quand, par exemple, le temps passe ? On pourrait arguer du fait que La Terre ayant tourné autour du Soleil alors le point A n'est plus le point A un petit instant plus tard ? Il me semble que Poincaré a traité de cette question, si certains savent ? Un point existe-t-il ???

Ou bien après, par exemple quand on construit une métrique, on peut décider de définir la position, le point, de façon relative : on sait où est A par rapport à un point O. Mais alors 1) Ce n'est que repousser le problème, dans la mesure où O n'est lui même pas défini mais posé et 2) En imaginant par exemple (ce que je ne pense pas qu'on puisse réfuter en physique, tout extravagant que cela soit) que l'Univers tout entier soit en expansion, je veux dire que toutes les distances grandissent (comme la taille des électrons, leurs distances aux noyaux etc.) si bien que, nos instruments de mesure, la règle, grandiraient elle aussi, en ce cas : les distances changeraient et la position du point A, son identité, son essence, serait à nouveau perdue...

Aussi, par exemple pour se demander si le monde a 3, 4 ou 17 dimensions (peut-on seulement le savoir ?), il nous est bien nécessaire de se représenter ce qu'est le point afin d'apréhender les volumes, surfaces, etc.

Comment sort-on de ce problème selon vous ???

Merci...
-----

[Médiat]

Aujourd'hui, avec les géométries non euclidiennes, voire la théorie des ensembles, on va construire la géométrie sans définir le point.
On suppose en effet l'existence de ce dernier en mettant dans les axiomes de départ qu'il y a un ensemble non vide de "points". Et on part de là pour construire (et définir) les droites, les plans etc.

D'un "point" de vue mathématique, tout est dit : "Est point ce qui vérifie les axiomes du point dans une géométrie"

[ilelogique]

????
Quels axiomes du point ???
Je n'en connais pas !
Il me semble qu'on présuppose que le point existe et qu'ensuite on définit le reste à partir de là, avec des axiomes.
je ne vois aucun axiome qui ne parle QUE de points.
Je ne crois pas qu'il y ait même une seule géométrie qui dise par exemple (et pour cause, je pense qu'on ne le peut pas de façon rigoureuse) :
Deux points A et B sont disticnts si et seulement si ils ne sont pas au même endroit.

Etc,
non pas d'accord...

[ilelogique]

Ou disons : pas compris...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8ac20103]

Bonsoir,

Je n'ai pas réfléchi durement à la question, mais en géométrie affine on appelle points les éléments des espaces affine.

En dehors de ça, je ne sais pas encore.

Cdt

[gg0]

Par définition d'une axiomatique,

les points sont des éléments non définis, justement parce que l'axiomatique de la géométrie, même si la géométrie a été tirée de la réalité, ne concerne pas les endroits.
Donc soit on parle de français, et on définira plusieurs acceptions de "point"; soit on fait des mathématiques, et un point est un élément de l'espace (géométrique, affine, ou autre suivant la géométrie considérée).

Donc ta question est résolue si c'est une question de maths.

Cordialement.

NB : Définir le point comme un endroit nécessite de définir un endroit, définition qui demandera d'utiliser des mots à définir à leur tour et ainsi de suit, à l'infini.

[invite6754323456711]

Mais si on s'interroge sur ce qu'est effectivement un point ?

En mon sens ce qui importe n'est pas de définir ce qu'est un point, mais plutôt ce que l'on peut construire/faire avec. Comme bien souvent, dans bien des domaines, on définit un objet d'étude par des propriétés et non par ce qu'il est.

Exemple l'espace affine dans lequel le point est un des éléments : http://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_...C3.A9mentaires

Patrick

[ilelogique]

ou bien en géométrie sphérique, on peut définir le point à partir d'un couple de droites (leur intersection), puisque toutes les droites se coupent et que tous les théorèmes sont réversibles "droites/points".
Mais ça revient au même car du coup le souci se pose pour la droite et puis ça ne marche pas dans toutes les géométries...

[invite179e6258]

tu devrais lire le livre de Hilbert : "Grundlagen der Geometrie"

[ilelogique]

Par définition d'une axiomatique,

les points sont des éléments non définis, justement parce que l'axiomatique de la géométrie, même si la géométrie a été tirée de la réalité, ne concerne pas les endroits.
Donc soit on parle de français, et on définira plusieurs acceptions de "point"; soit on fait des mathématiques, et un point est un élément de l'espace (géométrique, affine, ou autre suivant la géométrie considérée).

Donc ta question est résolue si c'est une question de maths.

Cordialement.

NB : Définir le point comme un endroit nécessite de définir un endroit, définition qui demandera d'utiliser des mots à définir à leur tour et ainsi de suit, à l'infini.

Je suis ok (et je l'ai écrit) avec votre PS.
Mais je pense parler de fondements des maths :
Les points ne sont pas du tout définis comme des éléments des espaces cités : ce n'est pas comme en théorie des ensemble où, à défaut de les définir, on donne des propriétés des ensembles (lesquels se construisent d'ailleurs de façon inductive, ce qui n'est pas le cas des points).
Les points sont supposés exister (et leur définition ne repose que sur l'intuition qu'on en a, en français donc) et on construit les espaces à partir d'eux.

Si vous connaissez un axiome qui définit un point... moi pas.

L'idée de ma question est bien épistémologique : la notion de point n'est là que parce que nous avons un corps physique (Poincaré) et donc nous appréhendons les distances, les volumes avec ça.

On pourrait faire des maths avec l'idée intuitive que les points sont des machines à coudre ??

[Médiat]

????
Quels axiomes du point ???
Je n'en connais pas !

Voir : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post2826074

J'ai bien écrit "Axiomes du point dans une géométrie".

[ilelogique]

J'ai bien écrit "Axiomes du point dans une géométrie".

Pouvez-vous citer un de ces axiomes svp ? Dans la géométrie que vous voulez...

[Médiat]

L'idée de ma question est bien épistémologique : la notion de point n'est là que parce que nous avons un corps physique (Poincaré) et donc nous appréhendons les distances, les volumes avec ça.

Donc votre question n'est pas mathématique.

On pourrait faire des maths avec l'idée intuitive que les points sont des machines à coudre ??

Parfaitement, Hilbert lui-même proposait de parler de « verre de bière », « chaise » et « table » à la place de point, plan, espace.

[Médiat]

Pouvez-vous citer un de ces axiomes svp ? Dans la géométrie que vous voulez...

Vous lisez les réponses que l'on vous fait, et les liens qu'elles contiennent ? Ce n'est pas parce que vous ne les connaissez pas qu'ils n'existent pas !

[ilelogique]

J'aurais eu bien du mal à lire votre lien qui m'envoie sur les travaux de Hilbert... en quelques minutes...
alors qu'un axiome se cite très vite : j'ai du mal à comprendre pourquoi vous refusez de citer un axiome définissant le point ?? Si vous pensez qu'il y en a un dans une certaine géométrie...
A moins qu'il n'y en ait pas ??? (et pour info, il me semble que Hilbert a bien présupposé le point ( et même les droites et les plans.)

[gg0]

Il n'y a pas d'axiome définissant le point, et pour cause. Tu devrais être cohérent avec ce que tu dis toi-même.
Dans l'axiomatique de Hilbert, points, droite plan et espace sont des notions primitives, non définies.
Dans les présentations actuelles de la géométrie, les points sont des éléments d'un ensemble, lui-même non défini.

Cordialement.

[Médiat]

Il n'y a pas d'axiome définissant le point

Euh, bien sûr que si, ou alors il vous faut admettre qu'il n'y a pas d'axiome définissant un élément neutre, qui n'est connu que par ses propriétés, c'est exactement la même chose pour les "notions primitives" de la géométrie ; si ilelogique, se donnait la peine de lire les liens que je lui ai fourni, il ne poserait plus la question !

Dans l'axiomatique de Hilbert, points, droite plan et espace sont des notions primitives, non définies.

Parfaitement (dans le sens que l'on a besoin de rien d'autre) définies par les axiomes.

Dans les présentations actuelles de la géométrie, les points sont des éléments d'un ensemble, lui-même non défini.

Non défini par les axiomes, oui.
On peut aussi considérer que points, droites et espaces sont des éléments d'un même ensemble qui ne sont identifiés que par des prédicats unaires (avec les bons axiomes), dans cette vision plus abstraite, dire qu'un point "appartient" à une droite n'est pas l'appartenance ensembliste.

Une autre branche des mathématiques (mais ce n'est pas celle qui intéresse le posteur initial (la géométrie)) utilise la notion de point, c'est la topologie, et là, il n'y a pas d'axiome pour les points qui ne sont que les éléments de l'ensemble sur lequel on a définit une topologie (on peut même définir la notion de topologie sans point), auquel cas tout objet mathématique est un "point" car il appartient à un ensemble (ne serait-ce que le singleton de lui-même) sur lequel on peut définir une topologie (ne serait-ce que la topologie grossière et la topologie discrète).

[gg0]

Médiat,

tu emploies une acception de "défini" assez éloignée du sens habituel du mot, et qui n'est pas celle de Ilelogique. Il attend un axiome de la forme "un point est ...", toi tu appelles "défini" une notion première dont parlent les axiomes. C'est jouer sur les mots.
D'ailleurs, tu n'as toujours pas répondu à la question de Ilelogique "Pouvez-vous citer un de ces axiomes svp ? ", qui parlait bien d'axiome définissant le point. Et pour cause, tu ne peux pas, en tout cas pour l'axiomatique de Hilbert.

Mais je reconnais que je ne saisis pas le questionnement de Ilelogique, qui semble à la fois comprendre qu'il y a une régression à l'infini si on ne prend pas des notions premières, et vouloir "définir" ces notions premières. A moins qu'il s'agisse d'applicabilité de la géométrie à la réalité, auquel cas sa question est très mal posée (d'autant qu'il y a diverses façons d'appliquer la géométrie (espace des phases, par exemple).

Cordialement.

[Médiat]

tu emploies une acception de "défini" assez éloignée du sens habituel du mot

J'emploie celle qui a cours en mathématique.

Il attend un axiome de la forme "un point est ...",

Je l'ai fait dans mon premier message, si vous voulez autre chose, donnez moi une définition de "élément neutre".

toi tu appelles "défini" une notion première dont parlent les axiomes. C'est jouer sur les mots.

Non, c'est faire des mathématiques, si l'interrogation de fond est épistémologique, ce n'est pas le bon forum.

D'ailleurs, tu n'as toujours pas répondu à la question de Ilelogique "Pouvez-vous citer un de ces axiomes svp ? ", qui parlait bien d'axiome définissant le point. Et pour cause, tu ne peux pas, en tout cas pour l'axiomatique de Hilbert.

Personne n'est capable d'ouvrir un lien ici ?
Il suffit de regarder les premières pages du document en français pour trouver le premier axiome, et chose étonnante, il concerne les points (entre autres), donc les définit mathématiquement !

A moins qu'il s'agisse d'applicabilité de la géométrie à la réalité, auquel cas sa question est très mal posée (d'autant qu'il y a diverses façons d'appliquer la géométrie (espace des phases, par exemple).

C'est effectivement ce que je pense d'où ma remarque "D'un point de vue mathématique" dans mon premier message, et "Donc votre question n'est pas mathématique" dans mon troisième.

En tout état de cause dire "Il n'y a pas d'axiome définissant un point" est aussi faux que de dire "Il n'y a pas d'axiome définissant un élément neutre".

[invitebeea3011]

Bonjour.
Un point est un objet mathématique de zero dimension. La ligne étant d'une dimension. La surface de deux dimensions. Et le volume de trois dimensions.
Bonsoir.

[Amanuensis]

Il y a ambiguïté sur le mot "définition", ambiguïté qui amène à des échanges heurtés.

Si on prend définir avec la connotation "savoir ce que c'est" (ontologie), alors les points géométriques ne sont pas définis.

Si on prend définir avec la connotation "en savoir assez pour pratiquer des raisonnements les invoquant", alors les points géométriques sont définis.

Maintenant, les maths étant bien l'art d'exprimer des assertions abstraites c'est la seconde définition qui s'y applique. Mais la question originelle apparaît bien être avec la première définition, et la question ontologique ne peut pas être virée d'un revers de main.

On se demande pourquoi ces échanges heurtés, puisque les opinions sont complémentaires et donc une approche coopérative permettrait une meilleure couverture du sujet que l'une ou l'autre opinion prise seule.

[Médiat]

Rappel : en regardant le titre de ce forum en haut de la page, on trouve "Mathématiques du supérieur", pas "Epistémologie" où devrait se trouver une question portant sur l'ontologie !

[Amanuensis]

N'est-il pas plus facile à comprendre les intentions d'un posteur en lisant son texte plutôt qu'en analysant son choix, peut-être erroné, de forum ???

Certains ne sont pas très sûrs de leur choix, et s'appuient sur les modérateurs, qui ont le pouvoir de déplacer une discussion, et sensément la capacité de jugement à prendre la décision de le faire. Il y a même des fois où c'est explicite, exemple :

cette question est un peu philosophique, espérons qu'elle a bien sa place ici...

Que penser alors quand la discussion n'est pas déplacée et l'argument du choix de forum est utilisé par un modérateur dans un débat où il s'implique sur le fond ?

[Médiat]

Une fois de plus vous faites semblant de ne pas savoir que ce que j'écris en noir, ne l'est pas au titre de modérateur, contrairement à ce que j'écris en vert !

Je vous concède qu'il est plus facile de comprendre l'intention d'un posteur en lisant ce qu'il écrit, par exemple :

Il me semble qu'on présuppose que le point existe et qu'ensuite on définit le reste à partir de là, avec des axiomes.
je ne vois aucun axiome qui ne parle QUE de points

Les points ne sont pas du tout définis comme des éléments des espaces cités : ce n'est pas comme en théorie des ensemble où, à défaut de les définir, on donne des propriétés des ensembles.

Alors que c'est bien la même chose !

Ces deux exemples montrent bien une interrogation mathématique, dont l'évidence est cependant refusée.

De plus une lecture attentive vous montrera que je n'ai pas "viré d'un revers de main" la question épistémologique, je l'ai juste renvoyée à sa place, me restreignant à ne traiter que de mathématiques dans le forum "Mathématiques du supérieur"

[ilelogique]

Mediat, j'ai justement lu les premières pages de Hilbert et je persiste :
il ne définit pas le point, mais il en parle : dire qu'avec deux points distincts (qu'entend-il par là ???) on peut former une droite est une définition de la droite et non des points.
Enfin, je ne comprends toujours pas votre insistance à ne pas vouloir citer l'axiome dont vous parlez !!!

Pour l'élément neutre :
La théorie des groupes ne porte pas sur des objets préalablement définis : il suffit d'avoir un ensemble E non vide (de cafetières ou de chaussures...) et suite à cela : l'axiomatique impose des règles et l'existence de certains éléments particuliers dans l'ensemble dont il est question, ainsi -Après avoir défini la loi interne * - un axiome impose ET définit bien l'élément neutre dans l'ensemble E :
"Il existe un objet e de E tel que pour tout x de E on ait x * e= e * x = x"
L'unicité est d'ailleurs conséquence. Cet axiome définit bien ce qu'est un élément neutre (je conviens au demeurant, et ça pourrait faire l'objet d'une autre discussion, que l'égalité n'est pas définnie en théorie des groupes ; c'est en effet une "méta-définition" qu'il faut pour l'identité : On dit que deux objets a et b sont égaux si et seulement si, pour toute propriété P (formule du premier ordre) a vérifie P si et seulement si b vérifie P (c'est à dire a et b indiscernables par une propriété), j'ai souligné le quantificateur universel car c'est là qu'on est au second ordre en logique).

Aussi, je conviens bien, comme Hilbert, qu'on peut très bien faire de la géométrie avec des verres de bière (car ensuite, je pense qu'on peut définir les droites et les plans à partir des points), et donc que les points ne sont pas définissables en maths (puisqu'il faudrait s'appuyer sur une notion encore plus profonde).

Mais d'où ma question (qui là, oui, je l'ai dit dès le début de mon premier message n'est plus vraiment mathématique mais épistémologique) :
Qu'entend-on par point ?
Qu'est-ce qui a poussé l'humain à construire ce concept (le fait que nous ayons un corps physique et des sens, comme le dit Poincaré) ?
Car les notions de "même position" et "d'identité de points" ne sont pas claires du tout (relatives), si bien que (et alors oui, c'est sans doute l'objectif inconsciement caché de ma question !!!) on en vient à ceci :
inventons-nous ou découvrons-nous les maths ?
Car si la plupart des matheux pense qu'on les découvre : il faut bien dire ce qu'est un point ! (le souci se posant moins pour les nombres, dans la mesure où seule l'existence de l'ensemble vide, qui est un axiome, est nécéssaire à la base, puisqu'après on suit un shéma inductif).

Si, comme moi en partie, on pense qu'on les invente alors pas de problème : pas besoin de définir le point et tout va bien, on le présuppose, tout comme on suppose l'existence de la tour aux échecs et tout comme on pourrait prendre des verres de bière pour jouer aux maths.

Mais si on découvre les maths, alors qu'est-ce que le point ?

Médiat, j'attends toujours votre axiome ???

[ilelogique]

J'espère que nous approchons d'une entente cordiale...
Je suis d'accord avec Amanuensis et j'avais en effet, des le début, dit que j'espérais être dans le bon type de sujet (Il y a de l'épistémologie sur le forum ?)

Je crois que le point n'est pas défini par simple comodité (ainsi que je l'ai mis plus haut, on peut le définir à partir des droites en géométrie sphérique il me semble)

Désolé de tant perturber,
je dois filer... à ce soir !
Cédric.

[Médiat]

Mediat, j'ai justement lu les premières pages de Hilbert et je persiste :
il ne définit pas le point, mais il en parle : dire qu'avec deux points distincts (qu'entend-il par là ???) on peut former une droite est une définition de la droite et non des points.

Non ! Cela définit les relations entre Droites et Points (Tables et Verres de bière, dirait Hilbert)

Enfin, je ne comprends toujours pas votre insistance à ne pas vouloir citer l'axiome dont vous parlez !!!

Mais, enfin, vous venez d'en citer un !!! (normalement un seul ! suffit)

Pour l'élément neutre :
La théorie des groupes ne porte pas sur des objets préalablement définis : il suffit d'avoir un ensemble E non vide (de cafetières ou de chaussures...) et suite à cela : l'axiomatique impose des règles et l'existence de certains éléments particuliers dans l'ensemble dont il est question, ainsi -Après avoir défini la loi interne * - un axiome impose ET définit bien l'élément neutre dans l'ensemble E :
"Il existe un objet e de E tel que pour tout x de E on ait x * e= e * x = x"

Autrement dit vous définissez l'élément neutre en utilisant d'autres éléments, ainsi que la loi de composition interne, je pourrais donc vous dire, comme vous que cela ne définit pas l'élément neutre, mais la loi de composition interne : c'est exactement pareil !

inventons-nous ou découvrons-nous les maths ?

Sujet abordés des dizaines de fois en "Epistémologie" ! Par exemple là : http://forums.futura-sciences.com/de...ml#post2797503

Médiat, j'attends toujours votre axiome ???

Celui que vous avez cité me va très bien !

[invite179e6258]

un seul axiome ne suffit pas parce que :
deux points définissent une droite et
deux plans définissent une droite
c'est le même axiome mais un point n'est pas un plan.

[Médiat]

un seul axiome ne suffit pas parce que :
deux points définissent une droite et
deux plans définissent une droite
c'est le même axiome mais un point n'est pas un plan.

Si vous faites allusion à ma phrase "(normalement un seul ! suffit)", je ne voulais pas dire que un seul axiome suffit à définir un point (au contraire, il les faut tous), mais que "un seul point d'exclamation suffit" .

[gg0]

Désolé, médiat,

mais j'abandonne la discussion. Tes remarques confinent à la mauvaise foi, le mot "définition" en mathématiques a un sens précis, ton usage (courant chez certains logiciens qui détournent le langage commun pour dire "la logique c'est mieux") n'est ni l'usage courant, ni celui des mathématiciens, et ta réponse à Ilelogique a montré clairement ses limites.