Nous avons construit pas mal de chose, même en dehors du cadre mathématique, à partir de ce rien qui ne se défini pas de par lui-même. Il faut passer au tresse maintenant, mais j'ai bien peur que cela soit le même problème concernant ce que l'on cherche par définir un "être d'étude".Envoyé par ilelogique
Patrick
C'est pas la même situation pour les tresses, le groupe des tresses a une définition très précise ( soit par générateur et relation soit comme un groupe fondamental), ça n'est pas la même chose que la notion de point qui est informelle ou d'élément qui est primitive.
Toujours pareil. Qu'est ce que l'on entend (voir attend) par définition ? La "définition" du point par c'est propriétés/relations/... dans un cadre donné ne serait pas précise ?
Le groupe affine n'a pas non plus une définitions précise ?
Comment ce défini une tresse par elle même ?
Patrick
Je ne suis pas certain de comprendre en quoi une définition axiomatique du 2nd ordre (par exemple) modifierait fondamentalement la notion de définition, mais en tout état de cause, l'égalité est axiomatisable au premier ordre (mais pas finiment axiomatisable), exactement comme les entiers (à cause du schéma de récurrence).
Pour la géométrie, il est exact que l'axiome de continuité (ou d'Archimède) n'est pas du premier ordre, mais je ne vois pas ce que cela change (du point de vue de la notion de définition), c'est le cas de l'axiome d'Archimède dans IR, ou la théorie des groupes de torsion (par exemple).
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Des objets primitfs on attend pas de "definition" autre que la liste de propriétés qu'ils ont.
Apres de deux choses l'une, où l'on considère le point comme une notion informelle (donc pas mathématique) qui peut se decliner en des definitions precises en fonction du contexte (le point en geométrie differentielle, en topologie etc...), donc non pas de definition precise dans ce contexte là (c'est le cas de beaucoup de notion en maths qui se "déclinent", il n'y a pas de definition precise de la notion d'espace, ou d'arithmétique, ou d'intégrale)
Soit on considère que point est synonyme d'element, et dans ce cas là, c'est un objet primitif.
Il en va bien differement pour la notion de tresse, qui n'est pas un objet primitif, une tresse, c'est un element du groupe des tresses (dont votre lien fournit des definitions), le groupe affine a aussi une définition pecise, c'est le produit semi directe du groupe sous jascent à l'espace par le groupe des transformations lineaires de la direction de l'espace.
Je ne vois rien de comparable dans ces deux situations.
Les groupes de tresses peuvent être définis de différentes manières équivalentes, illustrant les relations qu'ils entretiennent avec différents domaines des mathématiques.
Alors mon incompréhension porte sur :
- Le mot élément porte, dans ce contexte, une autre signification que dans le contexte du point ?
- Quels sont les autres éléments des "groupes des tresses" qui ne peuvent se nommer tresse ? C'est quoi leurs particularités ainsi que la particularité de ceux que l'on nomme tresse ?
- Quels en sont les éléments primitifs ?
- Anecdotique le choix du vocabulaire.
Patrick
Dernière modification par invite6754323456711 ; 21/01/2013 à 20h49.
On s'éloigne un peu de la discussion.
Il n'y a pas des groupes de tresses, enfin, si, il y a des groupes de tresses à n brins, ou n est variable, mais à n fixé il y a LE groupe de tresse à n brins. Ce groupe peut etre defini de la façon suivantela deuxieme relation etant valable pour les i,j tels qu'aucun ne soit egal à l'autre plus 1. C'est une défintion (les autres etant équivalentes), elle releve purement de la théorie des groupes.
Apres bien sur le groupe des tresses intervient dans de nombreux domaines.
UNe tresse c'est un element du groupe B_n que l'on qualifie du coup, de groupe des tresses.
-Le mot element porte la meme significtaion tout le temps, on pourrait dire une tresse est un point du groupe des tresses, mais on ne le fait pas.
-Tous les elements du groupe des tresses s'appellent des tresses.
-Il n'y a pas d'histoire d'element primitifs ici, les elements primitifs sont ceux de la theorie des ensembles (naive): element, ensemble, appartenance, egalité (je dois en oublier certainement)... quand on a ZF, il n'y a pas besoin de rajouter rien d'autre dans les maths (ou du moins dans 99% des maths). Finalement les notions primitives, y en a assez peu.
-Le choix du vocabulaire est anecdotique, comme tout le temps en maths. On pourrait s'affranchir tout le temps de parler de "tresses", mais ce serait peu commode.
Dernière modification par invite76543456789 ; 21/01/2013 à 21h03.
J'ai sortie cet exemple au hasard (il m'est venu à l'esprit) pour montrer que je ne connais pas de contre exemple qui montrerait qu'il existerait des êtres mathématiques qui puissent se définir de par eux mêmes (interprétation que je fais de ma compréhension d'un des questionnements de ilelogique ) . L'objectif n'est effectivement pas de dériver sur la notion de tresse que je connaissais que très superficiellement.
Patrick
Je suis pas sur de comprendre ce que vous voulez dire, mais ce que je voulais dire, c'est que la notion de point est informelle et multicephale, et qu'il n'en est pas de meme de la notion de tresse, qui a un sens precis.
Mon autre point était que l'on peut devisser la notion de tresse pour l'exprimer en utiisant uniquement les symboles et le vocabulaire de la theorie des ensemble. Il n'en est pas de même avec la notion d'element, qui est deja contenu dans ce vocabulaire.
Elle repose sur la notion de groupe qui se définit non pas par ce qu'il est, mais par son "mode opératoire", il en est de même pour le point. A un certain niveau d'abstraction je ne perçois pas de différence dans la construction des être mathématiques.
Patrick
On définit bien un groupe par "ce qu'il est" (si tant est que ceci ait un sens), un groupe c'est une ensemble muni d'une loi de composition (qui est elle meme un triplet d'ensemble) verifiant ceci, ceci et cela. Bref un groupe est un couple d'ensembles (un couple etant lui aussi un ensemble).
Vous ne pourrez pas faire la meme chose pour element (et de là, pour point).
Ben non justement, on le défini par ce que l'on peut faire avec. En mon sens toute l’ambiguïté/quiproquo des échanges reposent sur ce qu'a souligné Amanuensis au message #21.
Patrick
M'enfin, je viens de vous donner la definition d'un groupe... on ne definit pas du tout un groupe par ce que l'on peut en faire, non.
On definit bien un groupe par ce qu'il est (un certain ensemble).
Un "savoir ce que c'est" ca peut etre "relatif", si vous preferez, si on sait ce qu'est un ensemble/element/relation d'inclusion/relation d'egalité/relation d'appartenance alors on sait ce qu'est un groupe. Cette définition de groupe et son esprit, n'a rien à voir avec les definition d'ensemble et d'elements (à moins de se placer dans une theorie plus fondamentale, type, theorie des classes, dans laquelle on peut dire un ensemble est une classe telle que ceci ceci et cela, dans ce cas l'objet primitif devient la classe).
M'enfin définissez ce qu'est un ensemble en soi sans utiliser aucune propriété pour le caractériser.
Patrick
Mais... vous plaisantez?! Je viens de vous dire que la situation de groupe et d'ensemble n'etait pas la meme et que ce que vous pouvez faire pour groupe (à savoir définir ce que c'est), vous ne pouvez le faire pour un ensemble (mis à part le tautologique, un ensemble est un ensemble), et vous me demandez de faire pour ensemble, ce que je viens de faire pour groupe... La difference c'est que l'un est une notion primitive, l'autre pas.
on a changé de sourd (sourds?) mais c'est le même dialogue, les points ou les chopes de bière...
Mais... plaisantez vous aussi ? C'est quoi alors un groupe en soi sans utiliser aucune propriété pour le caractériser ?
Patrick
Je n'ai pas dit que je n'utilisais aucune propriété pour le carracteriser, j'ai dit qu'un groupe ne se definissait pas parce qu'on en fait, mais bien parce qu'il est, c'est un type particulier d'ensemble. C'est une spécialisation de la notion d'ensemble (quant à la definition, vous la connaissez aussi bien que moi).
Bref vous pouvez tourner cela dans le sens que vous le voudrez, dans l'axiomatique ZF (c'est a dire celle de 99% des maths), un ensemble est un objet primitif, pas un groupe, c'est comme ca.
Je vais en rester la pour ce soir car cela devient un débat d'épistémologie sur la construction des "êtres mathématiques". J'interviendrais si ilelogique crée un fil sur cette question d'épistémologie.
Patrick
Le débat est très intéressant mais ...
Cette question a t-elle un sens?
On peut définir quelque chose (mathématique comme ordinaire aussi, une chaise une table) sans utiliser une propriété qui le caractérise?
Pour résumer en fait la question serait: Les points existeraient-t-ils si les droites n'existaient pas?
Ce debat est (malheureusement) epistemologique depuis le debut, sur le plan mathématique, il n'y a pas grand chose à dire d'interessan (et comme l'epistemologie ne m'interesse pas, je vais cesser d'intervenir).
Bonsoir,
je ne sais pas pourquoi vous tentez de comparer "Notion de groupe" et "Point", il me semblerait plus naturel de comparer, soit "Notion de groupe" avec "Notion de géométrie, à la Hilbert", soit "Elément d'un groupe" avec "Point".
Si on me demandait quel est la définition d'un "élément d'un groupe", je ne pourrais pas répondre autre chose que "c'est un élément qui vérifie les axiomes d'un élément d'un groupe", comme je l'ai fait pour les points (même si dans le cas de la géométrie c'est un peu plus compliqué, du fait de la présence de 3 types d'éléments).
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Je vais essayer d'etre un peu plus contructiv(iste), vous pourriez avoir une notion primitve de groupe, dans une théorie du genre.
Un groupe possède des choses, une chose neutre et une multiplication (j'utilise chose plutot qu'element pour ne pas me placer d'emblée dans la théorie des ensembles). La mutliplication d'une chose par une chose neutre donne cette meme chose, toute chose possède une chose, telle que la mutlpication de ces deux choses donne la chose neutre etc... (bon bien sur en plus formalisé) et là vous auriez tout un tas de notions primitives attachées à la théorie des groupes, chose, chose neutre, groupe, posseder etc...
Mais il s'avère qu'on ne procède pas comme ca, on a une theorie "primitve" (ZF) et tout le reste (modulo certaines maths plus marginales) s'inscrit dedans.
Edit: pour marginales il va de soi que je parle en terme de nombre de "pratiquants" et pas d'importance ou que sais je.
Dernière modification par invite76543456789 ; 21/01/2013 à 22h22.
Pourquoi vouloir alors imposer votre épistémologie ? c'est tout autant inintéressant.
Patrick
J'essaie de ne pas parler epistemologie, ca ne m'interesse pas, je me cantonne aux mathématiques (c'est pour cela que j'ai precise que des notions d'"en soi", et de distinction "ce qu'on en fait"/"ce que c'est" sont deja des termes philosphique, et que je les ai traduit par la notion mathématique d'objet primitif/non primitif).
Pourtant à partir de la théorie des classes, il est possible de définir formellement, ce qu'est un ensemble, non ?
Mais vous le faites pourtant en disant qu'il existe des êtres mathématique qui se définissent de manière précise autrement que par leurs propriétés, relations. Les appeler être primitif ne change rien.
C'est bien cela que je vous reproche.
Patrick
Dernière modification par invite6754323456711 ; 21/01/2013 à 22h35.
Perso, j'ai essayé de ne pas alimenter la discussion dans cette direction, sachant que ca n'amènerait que loin du sujet sur le point, mais j'avoue que finalement la disgression n'était pas intéressante.
Dernière modification par invite7863222222222 ; 21/01/2013 à 22h51.
Tout à fait, c'est pour ca que je precise qu'en general on se place dans le contexte de la théorie ZF, mais il peut exister des theories mères dans lesquelles des objets primitifs dans ZF ne le sont plus, mais elles sont assez peu utilisées.
D'accord, mais là on est pas "en général", il s'agit de choses et questions qui sont "à la marge".
Dernière modification par invite7863222222222 ; 21/01/2013 à 23h37.
