Endomorphisme diagonalisable ?

[invite65f730be]

Bonsoir à tous !
Voilà, j'ai eu un petit exercice à faire sur la diagonalisation et je bloque un peu... On me donne E un espace vectoriel de dimension finie n supérieur ou égal à 1 et f un endomorphisme de E. On suppose que f vérifie l'équation f² - 5f + 6id_E = 0_E.

Première question, trouver les valeurs propres éventuelles. J'ai appliqué la méthode polynomiale et j'ai trouvé 2 et 3 comme valeurs propres possibles.

Deuxième question, montrer que f est diagonalisable. A ce stade, je n'ai pas d'idée. Je pense qu'il faudrait passer par un argument théorique plutôt que par le calcul, mais je ne vois vraiment pas lequel.

Quelqu'un pourrait-il m'aider ?

Merci beaucoup !
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[invite332de63a]

Bonjour, La condition nécessaire et suffisante de diagonalisation d'un endomorphisme est: f annule un polynôme scindé à racines simples.

Est ce le cas ici ?

[invite65f730be]

Si j'ai bien compris la définition de polynôme scindé à racines simples, je dirais qu'a priori oui. Avec les deux racines que j'ai trouvées on peut sans doute écrire
f² - 5f + 6id_E = (f - 2id_E)°(f - 3id_E) = 0_E,
non ?

[invite332de63a]

Oui on peu l'écrire ainsi.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite65f730be]

Et donc au final, f serait diagonalisable ?

Est-ce que cette propriété est au programme de BCPST ? Je ne me souviens pas l'avoir étudiée donc je ne sais pas si j'ai le droit de l'utiliser

[invite332de63a]

Ca je ne sais pas , je peux te dire par contre que çà l'est en MP.

[invite65f730be]

D'accord... En tout cas, j'ai quand même appris quelque chose de très utile. Merci