fonctions définies explicitement explication

[AnnaMahler]

Quelqu'un pourrait il m'expliquer les fonctions défines explicitement?
Car le prof en a parlé un peu en fin du cours et j'ai rien compris.

Il a donné un exemple avec un cercle x²+y²-1=0

Si a=1 et b=0 alors le graphe donnera 2 valeurs de y différentes. Pour chaque valeurs de x y=-racine(1-x²) et y=racine(1-x²)
La même situation se présente si a=- et b=

Mais si b< 0 alors y=-racine(1-x²)
si b>0 alors y=racine(1-x²)

Mais à quoi ça sert?
Une autre phrase à attiré mon attention(et aussi beaucoup de questions et d'imcompréhension):

Posons nous la question de savoir si une équation, par exemple x²+ln(1+x⁴y⁶+(1/(1+y²))-1=0 définit y comme fonction de x ou non et quelle est la dérivé de y par rapport à x dans le cas possitif et ou cette dérivé existe bien
Pour certains points (a,b) vérifiants l'équation, il existe un disque centré en (a,b) tel que la positon du graphe de l'équation à l'intérieur du disque correspondant à une fonction x->y=phi(x) . Pour d'autre points du graphe, la réponse sera négative.


Je n'ai absolument rien compris de la significcation de cette phrase. Quelqu'un peut il m'expliquer???



Merci beaucoup
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[gg0]

Bonjour.

Une fonction f est définie explicitement si on a le procédé qui permet d'associer à x la valeur de f(x). Voir dans un dictionnaire le mot "explicite", qui est utilisé ici dans son sens habituel.

Pour y voir clair, faisons la différence entre la fonction et sa courbe. Une courbe est courbe de fonction si pour une abscisse quelconque (x), il y a au plus un point de la courbe ayant cette abscisse (f(x) est soit inexistant, soit unique).
Si on prend une courbe quelconque, un cercle par exemple, il n'y a pas de raison que ce soit la courbe d'une fonction. Mais dans certains cas, on peut se ramener à une ou plusieurs courbes de fonctions. Pour le cercle, par exemple, la partie supérieure et la partie inférieure (délimitées par le diamètre horizontal) sont des courbes de fonctions.
L'utilité ? Ben c'est évident, non ? On sait faire plein de choses sur les fonctions.

A suivre ..

[gg0]

Prenons maintenant le point de vue algébrique (plus géométrique) : Une relation entre deux variables peut parfois se ramener à une fonction (par exemple x+y-2=0 donne y=2-x; y est fonction affine de x); mais en général ce n'est pas le cas. Cependant, dans de nombreuses situations, pour x et y suffisamment proches de certaines valeurs, on peut exprimer y comme une fonction de x. Attention, seulement pour x et y dans un certain domaine. par exemple, si x²+y²=4, plaçons nous au voisinage de (x=0, y=-2) qui vérifie l'équation. En prenant y négatif et x xompris entre -2 et 2, tous les couples de solutions de x²
y²=4 vérifient .
Attention, si y peut devenir positif, ça devient faux ! mais on a bien écrit y comme une fonction de x.

Maintenant, en rassemblant les deux aspects (la relation entre x et y est l'équation d'une courbe), on voit qu'on a fait deux fois la même chose. Et on est proche de l'idée du "théorème des fonctions implicites".

Cordialement.