Equation parametrique d'une ellipse.

[EliasCrow]

Bonjour,

Dans l'étude d'un oscillateur harmonique j'obtiens deux équations horaires de la forme:

x(t)=a cos(t) + b sin (t)
y(t)=c cos(t) + d sin (t)

On me demande d'établir que l'équation du mouvement est celle d'une ellipse.

On me rappelle de plus que l'équation d'une ellipse peut s'écrire : x²/A² + y²/B² + xy/C=1

Je pense devoir utiliser la relation :cos²t + sin²t = 1 mais je ne sais pas comment m'y prendre.

Quelqu'un pourrait-il me mettre sur la piste?

Merci!
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[gg0]

Bonsoir.

Tu peux tirer sin(t) et cos(t) de ton système. A condition que c et d ne soient pas proportionnels à a et b, sinon, l'ellipse est dégénérée en un segment de droite.

Bon travail !

[EliasCrow]

Bonjour,

Je te remercie tout d'abord pour ta réponse rapide.

Alors de l'équation horaire de x je déduis: cos t=(x- b sin t)/a et sin t= (x- a cos t)/b

De celle de y je déduis: cos t=(y-d sin t)/c et sin t = (y-c cos t)/d


Et après j'utilise la formule cos²t+sin²t=1 (en croisant c'est à dire en prenant le cos trouvé avec l'equation de x et le sin trouvé avec l'équation de y).
Je trouve bien des termes en x²,en y², en xy dont la somme fait 1 mais j'ai aussi des termes que je n'arrive pas à faire disparaître.

[Jeanpaul]

Tu peux essayer un truc pour caractériser cette ellipse. En suite, tu feras un changement d'axes pour te ramener aux axes principaux.
Le grand axe, c'est quand x²+y² est maximal , le petit quand c'est minimal. Comme ça tu sais la valeur de t (donc x et y) des axes. Un changement d'axes et c'est bon.

[A voir en vidéo sur Futura]

[albanxiii]

Bonjour,

Le calcul n'est pas spécialement sympathique, mais il n'y a pas tellement d'autre solution que de s'y mettre. Il m'arrive de noircir des pages entières pour certains calculs (en phase de recherche...).

A votre place, je calculerais , en partant de vos équations pour et et avec et (cela dit, en partant simplement sur on y arrive aussi, moyennant les bonnes manipulations en cours de route). Un conseil, il vous faudra surement connaître plus de relations trigonométriques que ....

@+

[gg0]

Bonjour.

manifestement, je n'ai pas été compris (*), alors que ça donnait un calcul simple : les deux équations donnent un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues sin(t) et cos(t). En le résolvant on trouve que sin(t) et cos(t) sont des combinaisons linéaires simples de x et y, et on remplace dans sin²(t)+cos²(t)=1. On trouve une équation de la forme indiquée dans l'énoncé.

Cordialement.

(*) bien évidemment, tirer sin t en fonction de x, y et cos t, et cos t en fonction de x, y et sin t n'est pas efficace, puisqu'il restera des sin et cos en plus des x et des y.

NB : Dans un forum du supérieur, on pourrait penser que les systèmes de 2 équations fassent partie des évidences.

[EliasCrow]

Merci pour vos réponses je pense avoir trouvé la solution.

Pour gg0: tu as raison je n'avais pas compris tes explications.J'avoue avoir un peu de mal je reprends les études après quelques années d'errance afin d'intégrer un DUT mesures physiques en année spéciale l'année prochaine(j'ai été accepté sur dossier avec une licence en biologie) et je me rends compte que les automatismes et les réflexes se sont un peu émoussés..

[gg0]

Ok,

je comprends mieux. Bon courage !

[EliasCrow]

Encore merci gg0,c'était effectivement simple ,avec ton second message j'ai trouvé en 5 minutes ce que je cherchais depuis des heures..
J'étais parti du mauvais pied mais je pressentais que la solution était plus simple.