Question sur les suites bornées

[invite204ee98d]

Bonsoir,


Je voudrais savoir comment montrer que pour toute suite réelle bornée , on peut fabriquer monotone (qui est une suite extraite de )


Merci, adios.
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[inviteea028771]

A mon avis, il faut se servir du fait que chaque suite bornée de R admet au moins une valeur d'adhérence

[invite204ee98d]

Non justement, c'est ce que vous avez dit qui est une consequence de ce je demande

[invite204ee98d]

Vous faites reference à Bolzano-Weirstrass qui s'applique pour toute réelle ou complexe bornée.
Si je veux le prouver pour les suites réelles, il faut prouver ce que j'ai demandé

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Bonsoir,

Si , alors soit il existe une infinité de termes de la suite supérieurs à soit il en existe une infinité qui sont inférieurs. Supposons que l'on soit dans le premier cas. Alors tu peux trouver un tel que et tel qu'il existe une infinité de termes de la suite supérieurs à . Par récurrence, tu arrives à définir une sous-suite croissante.

[invite204ee98d]

En revanche si on est dans le cas ou il y a une infinité de termes supérieurs et inférieurs à , ca veut dire que je peux forcement extraire une suite composée, soit que de termes supérieurs à (qui sont croissants), soit que de termes inférieurs (qui sont de plus en plus petits) ?
Si c'est le cas, ca aussi c'est à prouver qu'on peut le faire pour toute suite non ?
ou c'est forcément possible d'en trouver une extraite prenant que ces termes (soit inférieurs , soit sup) ?

[Seirios]

Les deux cas ne s'excluent pas, il se peut qu'il y ait une infinité de termes supérieurs et inférieurs à , mais cela n'a aucune importance, dans ce cas tu as le choix entre construire une suite croissante ou décroissante (le raisonnement ne change en rien).

[invite204ee98d]

Juste une question : est ce que toute suite admet une sous suite ?

[Seirios]

Une suite réelle est une application et une sous-suite est simplement la restriction de cette application à une partie infinie de . Autrement dit, si est une suite, alors pour toute application croissante , est une sous-suite.

Donc l'existence d'une sous-suite n'est pas du tout une propriété de la suite, c'est simplement la restriction d'une application : il en existe toujours (la suite elle-même est une sous-suite).

[invite204ee98d]

D'accord, merci