Bonjour à tous,
J'aurai besoin de calculer la somme suivante:
avec
Malheureusement Mathematica n'est pas d'une aide précieuse, il me recrache directement la somme et moi je ne vois pas du tout comment résoudre cela.
L'un d'entre vous aurait-il une idée lumineuse SVP?
Merci à vous de votre aide!
Bonsoir,
pour k=0, Wolfram donne une réponse raisonnable
pour k=1, il commence à faire apparaitre des fonctions digammas et des constantes d'Euler. Réécrit en
termes élémentaires, l'expression contient un bout de serie harmonique :
pour k =2,3 ..., il donne des formules énormes avec des fonctions polygamma, des pi et des constantes
d'Euler. Si on est courageux, on doit pouvoir réécrire le résultat uniquement en termes de séries
harmoniques ou de séries analogues.
pour k entier plus grand que 8 (je crois ...) (ou pour un k non entier), il ne donne aucune réponse
et je doute qu'il existe une formule raisonnable en général.
J'avais tenté aussi pour quelques valeurs et comme c'était laid
Mais je vais voir si j'arrive à m'en sortir malgré tout!
Merci de ton aide en tout cas
Bonjour,
Dans la série, le terme l=n comporte au dénominateur (n-l-1)! = (-1)! qui est infini. Donc ce terme est nul.
Par conséquent, il serait préférable de limiter la série à n-1 au lieu de n.
En page jointe, on montre que la série fait intervenir des dérivées jusqu'à d'ordre k de la fonction Gamma, c'est à dire des fonctions polygamma d'ordre d'autant plus élevé que k est grand. (ici dans le cas particulier x=2 , mais cela ne simplifie rien, puisque c'est k qui détermine le nombre de dérivations successives)
Il n'y a donc pas de formule simple pour k quelconque.
Bon, il y a eu un blocage en cours de modification.
J'essaie à nouveau de joindre le document.
On peut aussi l'exprimer sous la forme de dérivées successives de fractions polynomiales, ce qui est apparemment plus simple qu'avec les polygamma. Mais en réalité, cela devient tout aussi compliqué et volumineux dès que n et k sont un tant soit peu grands. (formule jointe)
