Pourquoi l'inégalité triangulaire n'est pas vérifiée ?

[invite744de606]

Bonjour,

J'essaie depuis des heures de démontrer que la fonction ne vérifie pas l'inégalité triangulaire. Voilà plus de détails:

Soient A et B deux sous-ensembles de , et la fonction définie par:



où désigne la distance euclidienne minimale entre le point et l'ensemble .

De l'aide SVP.
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[gg0]

Bonjour.

Définis l'ensemble des notations utilisées : |A|, a_i, ..

Cordialement.

[invite179e6258]

il suffit d'exhiber un contre-exemple. J'en ai trouvé un avec |A|=|B|=3 et |C|=2 mais tu peux peut-être faire mieux (plus petit)

[invite744de606]

= cardinalité de l'ensemble A.
= le ième élément de A.

J'ai fait une simulation informatique (via à un petit script), j'ai trouvé qu'au delà d'une certaine dimension (n>10, |A| ou |B| ou |C|>10) - l'inégalité triangulaire est toujours vérifiée.
ça reste une conjecture - je veux me lancer dans l'affirmation ou l'infirmation de cette conjecture d'une façon plus rigoureuse.

Merci.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite179e6258]

j'ai trouvé un contre-exemple en dimension 2.
voici les coordonnées des points de trois ensembles A, B, C:

A
[,1] [,2]
[1,] 0 0.0
[2,] 0 0.1
[3,] 0 -0.1

B

[,1] [,2]
[1,] 1 0.0
[2,] 1 0.1
[3,] 1 -0.1

C

[,1] [,2]
[1,] 0.1 0
[2,] 0.9 0

D(A,B)=1
D(A,C)=D(B,C)=0.276...

tu ne peux pas dire que l'inégalité est toujours vérifiée en dimension n>10 puisque tu peux prendre ce même exemple et ajouter des coordonnées nulles pour avoir un exemple en dimension finie quelconque >2.

[invite744de606]

= cardinalité de l'ensemble A.
= le ième élément de A.

J'ai fait une simulation informatique (via à un petit script), j'ai trouvé qu'au delà d'une certaine dimension (n>10, |A| ou |B| ou |C|>10) - l'inégalité triangulaire est toujours vérifiée.

ça reste une conjecture - je veux me lancer dans l'affirmation ou l'infirmation de cette conjecture d'une façon plus rigoureuse.
On peut en déduire une autre question:

Dans quel(s) cas l'inégalité triangulaire n'est pas vérifiée par 'D' ?

Je crois que cette question est plus dure!


Merci.

[invite744de606]

Dans quel(s) cas l'inégalité triangulaire n'est pas vérifiée par 'D' ?

ou aussi:

Peut-on estimer la probabilité que l'inég. triang. relative à la fonction D soit respectée (en fonction de n, |A|, |B|, |C| par exemple)?

Je crois que ces questions sont plus dures!


Merci.

[gg0]

je veux me lancer dans l'affirmation ou l'infirmation de cette conjecture d'une façon plus rigoureuse.

Elle a été infirmée par Toothpick-charlie !! donc inutile de chercher.

[invite744de606]

Bonjour,

En modifiant légèrement l'expression de la distance:



L'exemple donné par toothpick-charlie n'est plus un contre-exemple.

Voyez-vous des pistes qui mènent à la détermination de l'ensemble E défini, pour A et B donnés,
par:

.

Cordialement.

[invite179e6258]

qu'est-ce que K ?

[invite744de606]

: ensemble de tous les sous-ensembles de

[invite179e6258]

mais ta fonction D n'est définie que pour les ensembles finis.

[invite744de606]

Je rectifie donc

: ensemble de tous les sous-ensembles finis de .

[invite179e6258]

il suffit de resserrer un peu les ordonnées et le même contre-exemple marche encore avec la nouvelle définition de D.

[invite179e6258]

et même il y a un contre-exemple plus simple: A et B sont réduits à 1 point chacun, disons à distance x l'un de l'autre. Ainsi D(A,B) = x . Et C = A u B. Alors tu peux voir que D(A,C)=D(B,C)=x/4

[invite744de606]

Merci.

Je vais me pencher un peu sur la détermination de l'ensemble E sur des cas particuliers simples (n=2 et |A|=|B|=|C|=1,2,...).
Je vous mettrai au courant si j'avancerai.