Dérivées en coordonnées sphériques et extrema

[invite027ea645]

Bonjour à tous,

Je dois résoudre (numériquement) une équation différentielle dont la solution se trouve sur la sphère unité. Je sais que les points d'équilibre de cette équation sont donnés par les extrema d'une fonction qui dépend des trois coordonnées cartésiennes avec . Je peux exprimer les dérivées de en coordonnées sphériques :



Comme et que dépend uniquement de et , je pensais que cela se réduisait à :



et que donc si , alors mais ce qui n'est pas le cas en pratique. Qu'est-ce qui ne va pas ?

En vous remerciant,

P.P.
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[gg0]

Bonjour.

r étant une constante, que peut bien signifier une dérivée partielle par rapport à r ?

Cordialement.

[invite027ea645]

Ca n'a pas de sens, nous sommes bien d'accord. Le problème étant que j'ai essayé d'adapter "brutalement" l'expression en coordonnées sphériques à mon cas, bien que je passe d'un espace de dimension 3 à un espace de dimension 2.

Si je voulais faire les choses proprement, je dirais que



et que donc



Sauf que là problème, je ne peux évidemment pas inverser une matrice non carrée. Je peux facilement exprimer les dérivées en coordonnées sphériques par rapport à celles en coordonnées cartésiennes, mais pas l'inverse...

[Amanuensis]

Suffit d'exprimer dx et dy en fonction de dtheta et dphi (inversion matrice carrée 2x2), puis utiliser

dz =- (xdx+ydy)/z, qui vient de l'invariance de r (xdx+ydy+zdz=0)

(ou variante pour les pôles...)

[A voir en vidéo sur Futura]