Bonjour
je dois montrer que:
Somme(1=>n) 1/k = log(n) + gamma + 1/2n - 1/12n2 + 1/120n4 + o(1/n4) .
Jusqu'à -1/12n2 c'est fait mais je n'arrive pas jusqu'à 1/120n4
La méthode que j'utilise:
on étudie Vn= Un+1 -Un avec Un=Somme(1=>n) 1/k - log(n) - gamma - 1/2n + 1/12n2
Vn = 1/n+1 + log[1 - 1/(n+1)] - 1/2(n+1) + 1/2n + 1/12(n+1)2 - 1/12n2
On développe le log et on simplifie et on met les 2 derniers termes ensembles, et les 2 avant derniers ensemble
Vn= -1/2(n+1)2 - 1/3(n+1)3 - 1/4(n+1)4 - 1/5(n+1)5 - (2n+1)/(12n2(n+1)2) + 1/(2n(n+1)) + o(1/(n+1)5)
Après il faut développer les termes en brun de manière à les simplifier entre eux dans Vn.
(*) -1/2(n+1)2 = -1/2(n+1)n [1 - 1/n + o(1/n) ]
(**) -1/3(n+1)3 = -1/3n2(n+1) [1 -2/n + o(1/n) ]
et après je sais pas comment développer les -1/4(n+1)4 et -1/5(n+1)5 dans le sens où je ne sais pas quoi faire apparaitre au dénominateur pour pouvoir simplifier facilement dans Vn.
(j'ai testé leur développement mais quand je les rentre dans vn je n'arrive pas à simplifier les fractions en 1/n4)
Merci de m'expliquer et de me corriger si nécessaire.
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