série harmonique

[Minialoe67]

Bonjour

je dois montrer que:

Somme(1=>n) 1/k = log(n) + gamma + 1/2n - 1/12n² + 1/120n⁴ + o(1/n⁴) .

Jusqu'à -1/12n² c'est fait mais je n'arrive pas jusqu'à 1/120n⁴

La méthode que j'utilise:
on étudie Vn= Un+1 -Un avec Un=Somme(1=>n) 1/k - log(n) - gamma - 1/2n + 1/12n²

Vn = 1/n+1 + log[1 - 1/(n+1)] - 1/2(n+1) + 1/2n + 1/12(n+1)² - 1/12n²
On développe le log et on simplifie et on met les 2 derniers termes ensembles, et les 2 avant derniers ensemble

Vn= -1/2(n+1)² - 1/3(n+1)³ - 1/4(n+1)⁴ - 1/5(n+1)⁵ - (2n+1)/(12n²(n+1)²) + 1/(2n(n+1)) + o(1/(n+1)⁵)

Après il faut développer les termes en brun de manière à les simplifier entre eux dans Vn.

(*) -1/2(n+1)² = -1/2(n+1)n [1 - 1/n + o(1/n) ]
(**) -1/3(n+1)³ = -1/3n²(n+1) [1 -2/n + o(1/n) ]
et après je sais pas comment développer les -1/4(n+1)⁴ et -1/5(n+1)⁵ dans le sens où je ne sais pas quoi faire apparaitre au dénominateur pour pouvoir simplifier facilement dans Vn.

(j'ai testé leur développement mais quand je les rentre dans vn je n'arrive pas à simplifier les fractions en 1/n⁴)

Merci de m'expliquer et de me corriger si nécessaire.
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[Minialoe67]

personne? même un indice ou une idée de recherche serait bénéfique! merci

[Minialoe67]

Voilà ce que j'ai fait. comment continuer?
normalement on devrait trouver que vn est équivalent 1/30n⁵, non? car Rn= somme de n+1 à ∞ de 1/k^a équivaut à 1/a-1 *1/n^a-1

[rezrezrez]

Voici la solution, il faut simplifier par paquet de fractions ayant un équivalent identiques en +00.
Si tu n'arrive pas à simplifier le numérateur, continue de simplifier par paquets ayant des équivalents identiques (à un facteur réel prés).

Tu peux vérifier que le résultats équivaut à -1/30n^5, puis tu peux sommer de n+1 à +00 car les restes des séries convergentes dont les termes généraux sont équivalents, puis utiliser ton théorème " Rn= somme de n+1 à ∞ de 1/ka équivaut à 1/a-1 *1/na-1" sachant qu'il est vrai pour a>1.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Minialoe67]

merci pour votre aide

[Spinny13]

Bonjour ,

Peut on dire clairement et simplement que la série Harmonique tend vers l’infini? Je lis qu elle diverge vers l’infini ou que la suite de ses sommes partielles ( ce qui revient à l’addition de ses sommes partielles )tendent vers l’infini mais je n’ai encore jamais lu clairement que la série harmonique tendait vers l’infini ?
En effet il est difficile d’imaginer une suite divergente vers l’infini qui ne tendrait pas vers l’infini mais j’aimerais me le faire confirmer.
Merci à vous .

[Spinny13]

Bonjour ,

Juste une petite clarification s’il vous plaît : peut on juste dire clairement et simplement que la série harmonique tend vers l’infini ou pas ?
Je peux lire qu’elle serait divergente vers l’infini ou que l’addition de ses sommes partielles tendent vers l’infini mais il n’est jamais écrit précisément que la série harmonique tend vers l’infini.
En effet il est difficile d’imaginer une suite divergente vers l’infini qui ne tendrait pas vers l infini ?
Merci à vous

[MissJenny]

la suite des sommes partielles tend vers l'infini. Dans ce cas on dit que la série diverge. Pour les séries à termes positifs, soit les sommes partielles tendent vers un réel, soit elles tendent vers +infini, il n'y a pas d'autre possibilité.

[Spinny13]

Donc la série de la suite u(n)=1/n pour n supérieur ou égal à 1 tend vers plus l infini ?

[gg0]

Bonjour Spinny13.

Tout dépend de ta définition du mot série. Si c'est (comme souvent) la suite des sommes partielles, alors on peut effectivement, lorsque la série diverge vers +oo, dire que "la série tend vers +oo".
Pourquoi tiens-tu autant à cette formulation ?

Cordialement.

[gg0]

À noter : Plutôt que de pirater un fil ancien (11 ans) qui ne parle pas de ton sujet, tu aurais dû ouvrir un nouveau fil.

[Spinny13]

Parce que je voulais juste savoir si la somme des termes u(n) = 1/n quand n tend vers l’infini tend bien vers l’infini ou pas…
Désolé d’avoir poster ici je ne voulais pas faire de désordre.

[Spinny13]

10 puissance 79 atomes dans l’univers et à ce rang la H(n) ne vaudrait que 79*2.3=181.7
Ça paraît démesuré de la voir aller à plus l’infini…
C est donc la série qui tendrait vers plus l’infini le plus lentement possible j’imagine ?

[Médiat]

Non, on peut toujours faire plus lent, ne serait-ce que u(n)=1/(10^10000000000 . n)

[Spinny13]

Non la somme des termes de la votre ne tendront pas vers l’infini .
S(n) avec u(n) =1/2^n ne converge deja Que vers 1…

[gg0]

Je réécrit la proposition de Médiat :

[Spinny13]

En effet ..

[MissJenny]

si tu veux des suites qui tendent vers l'infini très lentement tu peux considérer les itérées de la fonction logarithme : log(n), log(log(n)), log(log(log(n))), etc. Elles ne sont pas définies pour les petites valeurs de n mais ça ne pose pas de problème. Ca c'est des suites, pour obtenir la série correspondante il suffit de les dériver par rapport à n, i.e. considérer la série de terme général u(n+1)-u(n), qui est la dérivée discrète de u(n)

[albanxiii]

C'est toute la beauté et la puissance du raisonnement mathématique.
Si ce résultat perturbe Spinny13, j'ose à peine lui mentionner celui-ci https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...ent_de_Riemann

[Spinny13]

Merci pour votre lien Alban, c est très intéressant c est sur .
Ceci dit je n’ai pas réussi à voir ce qu’il yaurait dedans de beaucoup plus surprenant que ma remarque sur les atomes.
Peut être pourriez vous le dire de manière vulgarisée.