Equations trigonométriques

[invite65f51af9]

Bonjour à tous,

Après une longue période sans avoir fait de mathématiques, je m'y remets doucement mais sûrement. Je suis en train de revoir les équations trigonométriques. L'équation que je dois résoudre est la suivante: cos(4x) = sin(2x).
Voici mon raisonnement:
cos(4x) = sin(2x)
<=> cos(4x) = cos (pi/2 - 2x)
<=> 4x = pi/2 -2x
<=> 6x = pi/2
<=> x = pi/12

La solution finale est x = pi/12 + k.pi/3 : k appartient à Z.
Ma question est la suivante: pourquoi la solution est-elle égale à pi/12 + k pi/3 et pas pi/12 + k.2pi ?

Merci d'avance et bonne fin de journée
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[sylvainc2]

A lieu de poser cos(4x) = cos (pi/2 - 2x), essaie cos(4x) = cos (pi/2 + 2kpi - 2x).

[invite65f51af9]

Merci beaucoup! Effectivement, ça fonctionne. Mais dois-je utiliser cette "astuce" pour tous les types d'équations? Par exemple, pour cos(4x) = cos(2x), à quel moment est-ce que je dois placer le 2kpi pour tomber sur la solution finale (qui est kpi/3 ). Merci encore pour votre aide!

[gg0]

Bonjour Naniot.

En fait, on peut utiliser plus simplement la règle suivante :

Qui te donne directement ton 4x=pi/2-2x+2k pi, mais aussi 4x=-pi/2+2x+2k pi.
Le deuxième cas donne des valeurs qui sont déjà dans le premier cas (pi/12-pi/3=-3pi/12=-pi/4), mais c'est un cas un peu exceptionnel.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Il y a aussi les deux autres règles

[invite65f51af9]

Merci pour vos réponses! Je comprends mieux comment résoudre ces équations. J'aurais juste une dernière question à poser.
Pour l'équation cos(4x) = cos (2x), on a donc 4x = 2x + k2pi ou 4x= -2x + k2pi.
Si j'utilise la première expression, je tombe sur x = k pi mais si j'utilise la deuxième, je tombe sur x= kpi/3 qui est la réponse correcte, selon la correction de l'exercice qui m'a été fournie. Comment puis-je savoir si je dois utiliser la première ou la deuxième expression?

Merci pour votre aide!

[gg0]

Tu dois utiliser les deux !

Là encore, une des séries de solutions est composée de cas particulier de l'autre (pi est un multiple de pi/6).
Pour bien voir, on représente sur un cercle trigonométrique les solutions à 2pi près (quand c'est possible). ça permet parfois de simplifier, ou de ramener à une seule expression au lieu de 2.

Cordialement.

[invite65f51af9]

Très bien, j'ai totalement compris la méthode de résolution.

Merci infiniment pour votre aide!

Bonne soirée.

[PlaneteF]

Bonsoir,

Très bien, j'ai totalement compris la méthode de résolution.

Méthode de résolution ou pas, règle de résolution pour une égalité de 2 cosinus ou pas, il faut bien que tu comprennes pourquoi ce que tu avais écris ci-dessous était faux de façon formelle.

<=> cos(4x) = cos (pi/2 - 2x)
<=> 4x = pi/2 -2x

Pour pouvoir écrire cela il faudrait que la fonction cosinus soit injective sur l'ensemble étudié ce qui n'est pas le cas ici. D'une manière générale, sans condition particulière, n'entraîne pas .

Il fallait faire intervenir ici d'entrée de jeu le de telle sorte que l'équivalence que j'ai indiqué en rouge (dans ta citation) soit vraie.

[invite65f51af9]

Bonsoir,

Merci pour la précision, je ne ferai plus la faute. Je ne connaissais pas la règle énoncée par gg0 au moment où j'avais écrit ce message. Ce qui est sûr, c'est que je ne risque pas de commettre la même erreur.

Cordialement.

naniot

[PlaneteF]

Merci pour la précision, je ne ferai plus la faute. Je ne connaissais pas la règle énoncée par gg0 au moment où j'avais écrit ce message. Ce qui est sûr, c'est que je ne risque pas de commettre la même erreur.

Quelque part si tu écris cela, c'est que tu n'as pas saisi le sens de ma remarque . Car justement ce que je voulais t'expliquer c'est que l'erreur que tu as commise n'était pas due à une méconnaissance de ladite règle mais plutôt une méconnaissance de la notion d'injectivité (ou manque de familiarisation). Dit autrement même en ne connaissant pas cette règle, la bonne connaissance de la notion d'injectivité ne t'aurait pas permis d'écrire ce que tu as écrit !

Cordialement