Etude de suite + Fourier

[invite032d76c3]

Bonsoir à tous,
je bute sur un nouvel exercice concernant



J'en suis à la question 2)b).
Cependant je ne sais comment procéder (l'heure tardive n'aidant pas beaucoup je dois l'admettre).

Quelqu'un pourrais m'aiguiller sur la démarche à suivre?

Merci à tous.
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[MOHAMED_AIT_LH]

Salut:
Je veux bien t'aider mais quand je clique sur l lien de l'image on m'affiche ça :

Pièce jointe spécifié(e) non valide. Si vous suivez un lien valide, veuillez notifier l'administrateur

Je te propose d'apprendre pour tes futures questions.

[Seirios]

C'est parce que la pièce jointe doit être validée par un modérateur.

[albanxiii]

Bonjour,

En attendant que la pièce jointe soit validée, vous pouvez aller voir sur http://www.les-mathematiques.net/pho...d.php?4,858264, et plus généralement http://www.les-mathematiques.net/phorum/index.php où il poste systématiquement les mêmes questions qu'ici, c'est du pur copier/coller.

@+

[A voir en vidéo sur Futura]

[MOHAMED_AIT_LH]

Salut,
Je vais examiner l'exercice avant de te repondre.

[invite032d76c3]

Merci Mohamed.

[MOHAMED_AIT_LH]

Je t'en prie!
Alors pour le 2)b)
prenons tel que .
Alors il existe un entier naturel non nul tel que .
Que vaut pour tout ? Qu'en deduit on ?
Maintenant pour : Que vaut pour tout ?
Qu'en deduit on ?

[invite032d76c3]

Je t'en prie!
Alors pour le 2)b)
prenons tel que .
Alors il existe un entier naturel non nul tel que .
Que vaut pour tout ? Qu'en deduit on ?

fn(x)=0
t n'est donc plus dans l'intervalle ]-1/2n;1/2n[

Maintenant pour : Que vaut pour tout ?
Qu'en deduit on ?

fn(0) = n
On en déduit que la limite de fn(0) quand n tends vers +infini, tend vers +infini

Etant donnée la parité de la fonction fn(x), fn(x) converge simplement vers la fonction f(t) identiquement nulle sur R* et diverge en t=0.

Pour la convergence uniforme, je bloque sur la rédaction de la solution et sur l'intervalle de convergence.

Merci pour ta réponse, elle m'a beaucoup aidé!

[invite032d76c3]

Petite erreur, c'est la suite fn qui converge simplement.

[MOHAMED_AIT_LH]

OK
C'est déjà bien d'avoir bien compris la convergence simple (j'apprécie surtout la phrase : On n'est plus dans ...)
Passons à la convergence uniforme sur l'intervalle :
Avant tout, notons f la fonction nulle sur qui est la limite simple de sur :
Il s'agit de:
1) voir si admet un sup sur ,
2) ensuite de voir si tends vers quand tends vers .
Si 1) et 2) sont réalisés c'est qu'on la convergence uniforme sur . Sinon (même si 1) est réalisé et pas 2) ) on n'en a pas.

Je te laisse chercher un peu et informe moi si tu bloques.

[invite032d76c3]

OK
C'est déjà bien d'avoir bien compris la convergence simple (j'apprécie surtout la phrase : On n'est plus dans ...)
Passons à la convergence uniforme sur l'intervalle :
Avant tout, notons f la fonction nulle sur qui est la limite simple de sur :
Il s'agit de:
1) voir si admet un sup sur ,
2) ensuite de voir si tends vers quand tends vers .
Si 1) et 2) sont réalisés c'est qu'on la convergence uniforme sur . Sinon (même si 1) est réalisé et pas 2) ) on n'en a pas.

Je te laisse chercher un peu et informe moi si tu bloques.

Ah d'accord, il faut prendre l'intervalle . Je me suis mis dans l'idée que l'on travaillait sur [-1/2n;1/2n]...

Pour un je trouve un sup|fn(x)|<=1/2n
et 1/2N tends bien vers 0 lorsque n tend vers l'infini.
Conclusion: la suite fn converge uniformément vers h sur avec h(x)=0.

(je pense avoir fais une erreur car on ne peut converger uniformément du R me semble t'il)

[MOHAMED_AIT_LH]

Je m'excuse d'abord pour avoir changé les notations (f_n au leiu de r_n et x au lieu de t). Je les garde cependant.
====
Pour ta réponse , tu t'es trompé car le sup de ne vaut pas .
Regarde bien:
Pour tout on a :
Donc si et si

Alors que vaut ?

[invite032d76c3]

Pas de problèmes J'ai traduis comme il fallait pour l'exo.

Même si j'ai l'impression de dire une grosse bêtise, je dirais que µn= 0 car pour toutes les autres valeurs de gn(x), lim(n tends vers +infini) gn(x) =+infini.

On en conclut que fn ne converge pas normalement.

(ou alors juste en 0 mais je ne voit pas comment l'expliquer).

[MOHAMED_AIT_LH]

Je vais m'absenter pour 30 mn ou un peu plus (c'est possible que je part )
Donc je te donne le plan pour terminer.
- tu vas trouver qu'on n'a pas de CU sur I donc à fortiori sur R*
- Tu vas donc tenter sio on a la CU sur avec réel donnée.
(Essaye d'être prudent ici car la suite n'est pas constante et je tinforme qu'elle s'annule à partir d'un certain rang, donc : bonne nouvelle ! )
- Tu en deduit ce qui sa paqqe sur donné ...

[MOHAMED_AIT_LH]

Pas de problèmes J'ai traduis comme il fallait pour l'exo.

Même si j'ai l'impression de dire une grosse bêtise, je dirais que µn= 0

Non

et je te laisse le soin de comprendre pourquoi ( le sup ! sur I)

[invite032d76c3]

D'accord, un gros merci en tout cas. Ça faisait un sacré moment que je bloquai dessus.

[MOHAMED_AIT_LH]

De mon côté, je vois que te soutenir au maximum pour cet exemple cache des interrêtés énormes tel que: Tu pourras par la suite bien traiter d'autres exemples simillaires voire plus compliqués.
Le sujet des suites et séries de fonctions est au début dificile à cause de la diversité des variables , notamment:
- L'indice de la suite
- L'ensemble où il faut chercher la convergence simple ( c'est la base pour les autres modes)
- LA variables qui décrit
- Les modes de convergences : simple, uniforme, normale.
- La patie de (qui peut valoir ) où on a la convergence uniforme (rep normale)

Tout se base sur .
pour le trouver : On fixe un nombre réel x quelconque et on pose la question : quelles sont les condtions sur x pour que la suite [br]NUMERIQUE est convergente ?
Exemple rapide :
pour que x^n converge il fait et il suffit que , donc

[MOHAMED_AIT_LH]

Pour notre : tu as définie comme suit:



Il en découle que est une application positive sur et nulle sur donc donc et alors:



Sur : Comme est majorée sur I elle est à fortiori majorée sur donc existe.
Soit un entier naturel non nul tel que ( existe : il suffit de prendre où est la partie entière de )
Alors pour tout on a ( à toi de voir pourquoi) et du coup pour tout on a et 'la bonne nouvelle': on a convergence uniforme sur vers la fonction nulle.