Groupe fini

[invite6c727d11]

Salut, j'ai rencontré des problèmes avec une question: Soit H un sous-groupe d’un groupe (G, .) fini.
Montrer que les ensembles aH avec sont deux à deux confondus ou disjoints.
J'ai considéré a et a' appartenant à H, et j'ai considéré 3 cas:
1) et .
2) et .
3) et .
J'ai fait les deux premiers cas, mais j'ai pas réussi à faire le troisième.
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[Amanuensis]

Quelle est votre démo pour le deuxième cas? (Histoire de voir si on ne peut pas vous guider du deuxième cas au troisième...)

[Par ailleurs, il y a des démos plus directes, sans décomposer en trois cas.]

[Seirios]

Bonjour,

Pour une démonstration plus directe, tu peux remarquer que , ce qui permet de se ramener au cas où ou .

[invite6c727d11]

Quelle est votre démo pour le deuxième cas?

J'ai considéré un x tel que et .
Puisque donc .(car )
Et x=a'h (tel que )
Donc (Absurde, car )
Ce qui montre que aH et a'H sont disjoints.

Pour une démonstration plus directe, tu peux remarquer que , ce qui permet de se ramener au cas où ou .

J'ai pas vraiment compris cette méthode.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Soit a et a' n'appartenant pas à H, considérez selon qu'il appartient ou pas à H, et vous pouvez vous ramenez à une solution similaire.

[Seirios]

J'ai pas vraiment compris cette méthode.

C'est parce que ce que j'ai écrit est faux On a plutôt , donc il suffit de montrer que pour tout , est soit soit . Tu peux faire un raisonnement similaire à ce que tu as déjà fait : si , alors d'où etc.

[invite6c727d11]

J'ai réussi à faire le dernier cas, merci !