jordanisation

[invite6d425481]

bonjour à tous.
soit
le pb est de touver la réduite de jordan de .On va tout d'abbord calculer le polynome caractéristique de .On obtiendra .On a une valeur propre simple et une valeur propre double.
-On calcule les vecteurs propres associés à chaque valeur propre.
-pour on a
-pouron a.On a alors
=multiplicité algébrique.Ainsi notre endomorphisme n'est pas diagonalisable d'où il peut etre triangulariser et jordaniser.
1)focalisons nous tout d'abord sur la jordanisation.notre espace se décompose de la manière suivante:nous savons que le vecteur propre associé àest.Mon pb se situe au niveau de la détermation des veteurs qui engendrent .Comment procède t'on?Je sais au moins que
doit etre de dimension 2.
2)-A présent trigonalisons
pb1:comment savoir si la matrice triangulaire semblable àest triangulaire supérieure où infèrieure?
pb2:Lorsqu'il faut déterminer les vecteurs de la matrice de passage.
On ad'oùon a ainsiengendré par .mon pb se situe au niveau de la détermination des vecteurs qui engendrent.Je pensais résoudre l'équationavecet ainsi déterminerest-ce juste?
-j'aimerais à présent savoir qu'elle est la différence entre la jordanisation et la trigonalisatrion au niveau de la détermination dexvecteurs constituant les matrices de passage.
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[invite18c42f07]

Salut!

Avant tout, je préfère prévenir je sors juste de prépa donc je me risque un peu à dire des choses qui demanderont à être confirmées... Donc merci par avance à ceux qui le feront

Ainsi notre endomorphisme n'est pas diagonalisable d'où il peut etre triangulariser et jordaniser.

Le fait que l'endomorphisme soit trigonalisable n'est pas une conséquence du fait qu'il ne soit pas diagonalisable! Une condition nécessaire est suffisante pour qu'il le soit est que son polynôme caractéristique soit scindé, ce qui est effectivement le cas ici (et c'est tout le temps vrai si on travaille avec un corps algébriquement clos). Il en est de même quant à la jordanisation.


Moi je vais prendre le problème dans l'autre sens, et d'abord regarder la trigonalisation, parce que c'est nettement plus simple.
pb1: eh... tout dépend de comment tu construis la matrice triangulaire en question. Personnellement je n'ai jamais vu de trigonalisation qui débouchait sur une matrice triangulaire inférieure (c'est d'ailleurs logique), donc pour répondre simplement -> matrice trianglulaire supérieure.
pb2: là t'es avec une matrice 3x3... quelque soit le vecteur e3 que tu prends (bon bien sûr faut le choisir tel que B=(e1,e2,e3) soit libre) la matrice de l'endomorphisme dans la base B sera triangulaire supérieure!


Ensuite, la différence entre trigonalisation et jordanisation, ben... la trigonalisation en principe tu l'as vu dans le cours, tandis que pour la jodanisation c'est un peu plus compliqué, en fait ce qui se cache derrière cette méthode, c'est la décomposition de Dunford.

Pour trouver les vecteurs, l'idée en gros c'est :
- Tu regardes chacun des sous espaces caractéristiques (cf. théorème des noyaux), si u est la restriction de f à un sous espace caractéristique (par exemple ker(f-aId)^b) alors u-aId est nilpotent. De plus- On s'intéresse donc à u. il s'avère que ker(f-aId)^b est de dimension b et que l'ordre de nilpotence de u-aId est b. On a qu'à reprendre ton exemple pour que ce soit plus clair : si u est la restriction de f à ker(f-Id)² alors u-Id est nilpotent d'ordre 2.
Par conséquent, g=u-Id est non nul. Il existe un vecteur x tel que g(x)<>0, et c'est là que tu exhibes ta base : (x,g(x)). Cette famille est libre, la démonstration est facile, on a juste besoin de se servir du fait que g soit nilpotent (c'est dit plus clairement ici http://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Y.../re/node6.html)

D'une manière plus générale, si f est nilpotent d'ordre b, alors il existe x tel que f^(b-1)(x) soit non nul, est à ce moment là (f^(b-1)(x), f^(b-2)(x)....f(x), x) est libre et c'est la base qu'on cherche! c'est exactement ce qu'on a fait ici (avec b=1)

- Bref, donc cette base la matrice de g est une matrice de jordan (avec la diagonale nulle) et en faisant ça avec tous les espaces caractéristique tu obtiens bien une base dans laquelle la matrice de f est une matrice de Jordan.


Je suis désolé c'est dit super vite, mais je dois partir donc je reviendrai dessus plus tard

[invite7c2548ec]

Bonjour tout le monde , juste une remarque pour le polynôme caractéristique pour la réduction des endomorphisme :

On obtiendra .On a une valeur propre simple et une valeur propre double.

D’après la matice citée dans l'énoncé j'ai trouver ce qui oppose aux calcule cité si haut à mon avis .

Cordialement

[Médiat]

Je confirme que les valeurs propres sont -2 et 1 (multiplicité 2) comme indiqué dans le premier post !

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Revérifie tes calculs.

Mon esclave est d'accord avec .

Cordialement.