Etude d'un endomorphisme

[ldesmet]

Bonjour,

J'ai un problème avec un exo de math. Voici l’énoncé :

E est un ev de dimension 3. B=(e1,e2,e3) une base et soit v=e1-e2+e3
On définit f (endo) par pour x appartenant à E :

f(x)=x-2(x1+x2+x3)v (ou (x1,x2,x3) sont les coordonnées de x dans B)

Objectif, calculer f².

Pour ma part, j'ai :

f(f(x))=f(x)-2(x1+x2+x3)f(v)
=x-2(x1+x2+x3)(v+f(v))
...

J'ai des calculs pas très beau, et dans la correction ils disent que c'est l'idendité.

Pouvez vous m'aider s'il vous plait ?

Au revoir et bonne journée.
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[Blead]

Bonjour,

Ton erreur doit être dans le calcul de f(v).
Qu'as-tu pour f(v)?

J'ai bien f(f(x)) = x , soit f² = Id

Cdt

[ldesmet]

Merci de votre réponse rapide.

f(v)=v-2(e1-e2+e3)v
f(v)=e1-e2+e3-2(e1-e2+e3)(e1-e2+e3)
puis j'arrive à une équation du deuxième degré donc je suppose que c'est pas la bonne façon.

[Blead]

L'erreur est là.

Les coordonnées de v dans la base B sont ( 1, -1, 1 ) donc dans le calcul de f(v) tu te dois de remplacer (x1,x2,x3) par (1,-1,1) ce qui te donnes une expression bien plus sympa!

[A voir en vidéo sur Futura]