les nombres réels le sont il vraiment?

[invite3f493f86]

Bonjour,

Je me demandais quel est le rapport entre les nombres entiers et les nombres réels.
Est ce que fondamentalement tout est représentable par des nombres entiers et les nombres réel ne seraient qu'une abstraction, une construction intellectuelle plus intuitive?
Nous utilisons par hasard une base décimal car nous avons 10 doigts mais notre rapport aux chiffres aurait été tout autre si nous avions eux 4, 6 ou 12 doigts. D'un autre coté pi et des rapports comme 1/3 ne sont pas réductibles.

J'aimerai savoir si mon interrogation à un sens pour les mathématicien et qqs références si c'était le cas.

Merci
-----

[invitedd63ac7a]

Tes interrogations se posèrent aux philosophes Grecques de l'époque classiques (Thalès, Pythagore, etc,...).
Les nombre entiers sont connus depuis très longtemps, certainement depuis la Préhistoire.
Les fractions sont apparus aux début de l'Histoire, en Mésopotamie, en Egypte, en Grèce (etc) comme étant une façon d'exprimer de façon concrète la partie d'un tout.
Or, les Grecs sont les inventeurs de la Science géométrique, autrement dit de la Démonstration. Ils ont étudié, dans un contexte géométrique, les nombres et surtout leurs propriétés. Ils sont arrivés (Pythagore) au fait que la diagonale du carré étant plus grande que le coté, elle devait donc s'exprimer par rapport au côté par une fraction. Or, qu'elle ne faut pas leur étonnement de pouvoir démontrer que ce rapport n'était pas une fraction mais un être inconnu qu'ils ont appelé nombre irrationnel (Racine de 2). Ainsi entrait dans l'histoire de la pensée Mathématiques la notion de nombre réel. Ce nombre réel (racine de 2) qui mesure la diagonale d'un carré n'est-il pas aussi réel que la dite diagonale.

[gg0]

Bonjour.

Pour les mathématiciens, tous les nombres sont aussi réels les uns que les autres. Ou aussi abstraits (on ne rencontre jamais le nombre 3 dans la vie courante; on rencontre 3 personnes, 3 cafés ou 3 jours de repos, ou le chiffre 3, jamais le nombre pur).

On sait depuis longtemps que les entiers ne suffisent pas pour traiter numériquement toutes les situations utiles; on sait aussi depuis plus d'un siècle qu'on peut construire tous les nombres à partir des propriétés des entiers; et même qu'on peut construire tous les entiers à partir ... de l'ensemble vide !

Pour aller plus loin, il vaut mieux étudier les maths et leur histoire. Pour l'histoire "mathématiques, la fin des certitudes" de Morris Kline peut être une bonne idée de lecture.

Cordialement.

[invite3f493f86]

"on peut construire tous les nombres à partir des propriétés des entiers; et même qu'on peut construire tous les entiers à partir ... de l'ensemble vide !"
C'est quelque chose comme ça que j'avais vu passé et qui m'a amené à me poser cette question
Merci beaucoup pour le point d'histoire et pour la référence
Bonne soirée

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Bonsoir,

Pour la construction des ensembles de nombres à partir des entiers, voir, par exemple là : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post3958180.

Pour la construction des entiers à partir de l'ensemble vide, il s'agit sans doute de la construction de Von Neumann (on parle aussi des entiers de Von Neumann), mais cela se fait dans le cadre de la théorie des ensembles (ZF pour les intimes), théorie plus forte que l'arithmétique de Peano (qui axiomatise la notion d'entier naturel), théorie dans laquelle les entiers se contruisent à l'aide d'une constante (0), et d'une fonction (la fonction successeur).