Compact et connexe par arcs ?

[Bonnie_-]

Bonjour,

Je me demandais si quelqu'un pouvait m'aider à mieux justifier que ce que je fais le problème suivant, s'il vous plaît ? Car ce que j'écris n'est apparemment pas assez complet mais je ne vois malheureusement pas trop quoi écrire de plus en guise de justification Voici mon problème :

Soit f:R->R une fonction continue partout définie. Soit G inclus dans R² son graphe et Z=R²\G son complémentaire,
G={(x,y) appartenant à R² | y=f(x)}.
On munit les espaces G et Z de la topologie induite de R².
(1) Est-ce que G est compact ?
(2) Est-ce que G est connexe par arcs ?
(3) Est-ce que Z est connexe par arcs ?

Moi, je répondrai les choses suivantes (mais apparemment ce n'est pas assez justifié et je ne suis même pas sûre que ce soit correct en fait) :
(1) Non, G n'est pas compact car il est par définition l'ensemble des couples de points (x,y) où x appartient à R qui n'est pas compact et y appartient à R qui n'est pas compact. (En effet, un compact dans R est un ensemble fermé et borné ce qui n'est clairement pas le cas de R).
(2) Oui car par définition un espace G est connexe par arcs si pour tout couple de points x,y il existe une fonction continue h:[0,1]->G avec h(0)=x et h(1)=y. Il suffit de prendre une restriction de f sur [0,1] pour que ce soit juste, non ?
(3) Non car pour tout couple x,y, il n'existe pas de fonction continue j=[0,1]->Z avec j(0)=x et j(1)=y.

Quelqu'un pourrait-il corriger, m'éclairer, m'aider, s'il vous plaît ?

Merci d'avance pour votre aide. J'en ai vraiment besoin.
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[Seirios]

Bonsoir,

(1) Non, G n'est pas compact car il est par définition l'ensemble des couples de points (x,y) où x appartient à R qui n'est pas compact et y appartient à R qui n'est pas compact. (En effet, un compact dans R est un ensemble fermé et borné ce qui n'est clairement pas le cas de R).

La justification n'est pas correcte : parcourt en effet tout , mais n'est pas quelconque, il est dans l'image de . Je pense qu'une manière de reformuler ce que tu as voulu dire est de remarquer que est la projection de sur l'axe des abscisses ; or cette projection est continue, donc si était compact, le serait également.

Sinon, on peut dire directement que n'est pas borné et ne peut donc être compact.

(2) Oui car par définition un espace G est connexe par arcs si pour tout couple de points x,y il existe une fonction continue h:[0,1]->G avec h(0)=x et h(1)=y. Il suffit de prendre une restriction de f sur [0,1] pour que ce soit juste, non ?

Dans ce cas tu lies et , et non deux points quelconques. Mais c'est l'idée, tu peux utiliser la restriction de à pour définir un arc entre et , il faut simplement écrire les choses proprement.

(3) Non car pour tout couple x,y, il n'existe pas de fonction continue j=[0,1]->Z avec j(0)=x et j(1)=y.

Ici ta justification est complètement fausse, il va toujours exister deux points dans qui pourront être reliés par un arc. Maintenant, il faut simpement trouver deux points qui ne peuvent pas l'être ; tu peux par exemple prendre et avec . (Ensuite, il faut rédiger un peu, mais je te laisse faire.)

[Bonnie_-]

Tout d'abord, un grand merci à vous !

J'ai encore deux questions (car je ne suis toujours pas sûre de mes réponses ...) :
Pour la sous-question (2), il ne me reste donc plus qu'à d'écrire comme arc f:[x,y]->(,f() ? C'est bien ça ?

Et pour la sous-question (3), j'ai l'impression que vous avez donné la réponse en entier, je me trompe ? (Je ne m'en plains bien évidemment pas) mais c'est juste que je ne vois pas ce qu'on pourrait écrire d'autre : ce que vous avez écrit me semble complet et qui plus est, écrit comme vous l'avez fait, j'ai compris Sauf que je ne vois pas ce qu'on pourrait ajouter de plus en guise de justification ? Pour moi, ça montre que Z n'est effectivement pas connexe par arcs.

[Bonnie_-]

Il va toujours exister deux points dans qui pourront être reliés par un arc. Maintenant, il faut simpement trouver deux points qui ne peuvent pas l'être ; tu peux par exemple prendre et avec . (Ensuite, il faut rédiger un peu, mais je te laisse faire.)

J'ai encore une autre question en plus de celles de mon message précédent (pour être sûre d'avoir bien compris) :
c'est bien le fait que ce soit une inégalité stricte pour qui justifie qu'en fait on arrivera pas à relier (0,f(x)) à (0,f(y)) puisqu'on arrivera pas à atteindre alors (0,f(y)) du fait de l'inégalité stricte instaurée, c'est bien ça ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Pour la sous-question (2), il ne me reste donc plus qu'à d'écrire comme arc f:[x,y]->(,f() ? C'est bien ça ?

Un arc est une fonction à une variable ; de plus, d'où vient ? Il est également maladroit d'appeler l'arc que tu essaies de construire alors qu'il existe une autre fonction du même nom.

Et pour la sous-question (3), j'ai l'impression que vous avez donné la réponse en entier, je me trompe ? (Je ne m'en plains bien évidemment pas) mais c'est juste que je ne vois pas ce qu'on pourrait écrire d'autre : ce que vous avez écrit me semble complet et qui plus est, écrit comme vous l'avez fait, j'ai compris Sauf que je ne vois pas ce qu'on pourrait ajouter de plus en guise de justification ? Pour moi, ça montre que Z n'est effectivement pas connexe par arcs.

Il y a bien quelque chose à prouver : si la fonction n'était pas continue ou si elle n'était pas définie sur tout entier, le résultat ne serait plus vérifié.

[Seirios]

Pour justifier la réponse à la question 3, je te conseille d'écrire comme union disjointe de deux ouverts.

[Bonnie_-]

Merci pour ton aide !

Je me lance donc :
Pour la question (2), on a la restriction de f à [x,y] qui est telle que f:[x,y]->{0,1} qui une application continue. Si x et y sont 2 points de R avec f(a)=0 et f(y)=1, on construit le chemin continu c:[0,1]->R avec c(0)=x et c(1)=y ce qui finit de montrer que G est connexe par arc, je me trompe ?

Pour la question (3),j'écris donc Z comme une union disjointe de 2 ouverts. Soient A et B deux ouverts disjoints tels que (0,x) est inclus dans A et (0,y) est inclus dans B. Posons Z=(A union B). Si (0,x) et (0,y) appartiennent à R² et que l'intersection A inter B = l'ensemble vide, alors A union B est une partie connexe contenant (0,x) et (0,y) et donc, contenu dans A et dans B.
En conséquence, A=A union B= B
Mais alors, Z est connexe (mais pas forcément connexe par arcs, c'est ça ?) ? Si je ne me suis pas trompée ... je ne vois plus comment arriver à montrer que Z n'est pas connexe par arcs ?

[gg0]

Désolé, Bonnie_,

mais je ne comprends rien à ce que tu racontes sur la question 2 : La restriction de f à [x,y] n'a aucune raison d'avoir son image contenue dans {0,1}. Son image est un intervalle fermé contenant f([x,y]) (propriétés des fonctions numériques continues), donc généralement plus d'une valeur, et qui généralement ne contient ni 0 ni 1.

Cordialement.

NB : As-tu fait un dessin ??

[gg0]

" Posons Z=(A union B)."
Posons 2=5+8 ....

Si tu décides de ce qui est vrai, il n'y a plus besoin de preuve. Mais personne ne te croira.

[Bonnie_-]

Oui, j'ai dessiné le graphe (avec les points (0,x) et (0,y) sur l'axe des ordonnées et f(o) compris entre ...). Mais je coince toujours sur les questions (2) et (3) malheureusement et j'ai absolument besoin de trouver les réponses et de comprendre d'ici demain
Ce n'est vraiment pas faute d'essayer, mais je coince vraiment, désolée. Ne peut-on vraiment pas me donner ici les réponses pour ces 2 questions ? Je commence hélas à vraiment manquer de temps et je me vois mal passer encore une nuit blanche de plus ...

Quand j'aurais d'autres questions sur le forum ou que j'essaierai d'aider d'autres personnes sur le forum, je vous assure que je prendrai tout le temps qu'il faut mais là, ce sont les 2 derniers jours où je manque vraiment de temps (je suis dans le "contexte des examens" encore ... et donc hélas, pressée et c'est pas faute d'effort)
Après, je serai plus libre de comprendre à mon aise et passer plus de temps (et si je le peux bien sûr, aider d'autres personnes) dès mardi soir.

Quoiqu'il en soit je vous remercie pour toute votre aide déjà apportée mais j'apprécierai vraiment que vous m'aidiez encore pour les questions 2 et 3, s'il vous plaît.

[gg0]

La question 2 est un problème de rédaction. Si tu n'essaies pas vraiment de passer de la définition générale à ton cas particulier, tu n'apprendras rien. Et rédiger une "solution" ne t'apporterait rien, puisque tu n'as pas vraiment essayé (tu as produit une suite de phrases à sujet mathématique qui ne sont pas un raisonnement, faute de rapport entre elles; seulement une imitation de texte mathématique). Et tu as eu toutes les indications utiles.

Pour la question 3, si tu as fait un dessin, tu y vois parfaitement que Z est composé de deux ouverts, séparés par un fermé continu. Il suffit de justifier ça proprement.

Désolé, mais si tu révises pour un examen, il faut que tu apprennes à comprendre seule. Tu seras seule devant ton sujet d'examen.

Cordialement.

[Bonnie_-]

Je crois que j'ai trouvé :

Pour la (2) ce qu'il restait à faire c'est d'écrire que :
si x est relié à y alors y est relié à x, grâce au chemin opposé pour tout
et comme la connexité par arcs (idem pour la connexité) est conservée par les applications continues, on a que si f : [x,y] -> G (i.e. le graphe pour lequel je dois montrer qu'il est connexe par arcs) est une application continue entre 2 espaces topologiques et si l'espace de départ [x,y] est connexe par arcs, alors son image f([x,y]) est connexe par arcs.

Cette fois, je ne me trompe plus ?

[gg0]

Ce que tu écris justifierait (en éliminant ce qui est de trop) le fait que f([x,y]) est connexe par arc. Ce qui n'a rien à voir avec la question. Dans ta "preuve", G n'apparaît même pas !!
As-tu lu ton énoncé ? Compris ce qu'est G ?
On n'attend pas de toi des bouts de phrases du cours, mais de traiter la situation proposée.
Ton problème est de définir l'arc qui relie les points (x,f(x)) et (y,f(y)) de G en restant dans G Cet arc est assez visible, il suffit de le définir correctement.

Rappel : l'application affine t-->x+(y-x)t applique [0;1] sur [x;y].

Cordialement.